Jawab:

2/3

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menyelesaikan nilai limit tersebut, kita bisa menggunakan teknik rasionalisasi. Kita mulai dengan mengalikan dan membagi dengan konjugat dari kedua akar:

lim x→∞ (√9x²+2x+11 - √9x²+8x+19)

= lim x→∞ [(√9x²+2x+11 - √9x²+8x+19) × (√9x²+2x+11 + √9x²+8x+19) / (√9x²+2x+11 + √9x²+8x+19)]

= lim x→∞ [(9x²+2x+11 - 9x²+8x+19) / (√9x²+2x+11 + √9x²+8x+19)]

= lim x→∞ [(6x - 8) / (√9x²+2x+11 + √9x²+8x+19)]

Untuk menghitung nilai limit ini saat x menuju tak hingga, kita perhatikan bahwa pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut adalah pangkat dua dari x. Oleh karena itu, kita bisa menggunakan aturan l'Hopital dengan menurunkan turunan dari pembilang dan penyebut:

= lim x→∞ [(6x - 8) / (√9x²+2x+11 + √9x²+8x+19)]

= lim x→∞ [6 / (9x/√(9x²+2x+11) + 9x/√(9x²+8x+19))]

= lim x→∞ [6 / (9/√(1+2/x+11/x²) + 9/√(1+8/x+19/x²))]

= 6 / (9/√1 + 9/√1) (karena saat x → ∞, suku-suku yang mengandung x di dalam akar akan mendekati nol)

= 2/3

Jadi, nilai limit dari persamaan tersebut saat x menuju tak hingga adalah 2/3.