Jawab:

648π satuan luas.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan konsep benda putar dan integral untuk menghitung luas permukaannya. Berikut adalah langkah-langkahnya:

1. Gambar garis y = 81 - x dan batas -2 ≤ x ≤ 2 pada koordinat kartesian.
2. Gambar benda putar yang dihasilkan saat garis y = 81 - x diputar sejauh 360 derajat mengelilingi sumbu x. Benda putar ini akan berbentuk silinder dengan alas berupa lingkaran.
3. Tentukan jari-jari lingkaran alas benda putar. Jari-jarinya sama dengan jarak antara sumbu x dan garis y = 81 - x. Jadi, jari-jari = 81 - 0 = 81.
4. Hitung luas permukaan benda putar dengan rumus L = 2πrh, di mana r adalah jari-jari lingkaran dan h adalah keliling lingkaran.
5. Untuk menghitung h, kita perlu menentukan panjang busur lingkaran saat x berubah dari -2 menjadi 2. Kita dapat menggunakan rumus panjang busur lingkaran, yaitu s = ∫[a,b] √(1 + (dy/dx)²) dx.
6. Turunan dy/dx dari y = 81 - x adalah -1, sehingga s = ∫[-2,2] √(1 + (-1)²) dx = 4.
7. Dengan menggunakan rumus L = 2πrh, kita peroleh L = 2π(81)(4) = 648π.

Jadi, luas permukaan benda putar yang mengelilingi garis y = 81 - x dengan batas -2 ≤ x ≤ 2 adalah 648π satuan luas.