Jawab:

Dalam menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan konsep barisan pusat bersama dua lingkaran yang berimpit. Barisan pusat dua lingkaran ini adalah suatu garis yang melalui kedua pusat lingkaran dan tegak lurus terhadap garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran. Untuk mencari barisan pusat ini, kita perlu mengetahui jarak antara kedua pusat lingkaran dan panjang garis singgung persekutuan luar. Berikut adalah langkah-langkah perhitungannya:

1. Hitung jarak antara kedua pusat lingkaran

Jarak antara kedua pusat lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, yaitu:

d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Kita asumsikan pusat lingkaran pertama berada di titik (0, 0), maka pusat lingkaran kedua berada di titik (x, y). Diketahui jari-jari lingkaran adalah 7 cm dan 14 cm, sehingga jarak antara kedua pusat lingkaran adalah:

d = √[(x - 0)² + (y - 0)²]

 = √(x² + y²)

 = 14 cm + 7 cm

 = 21 cm

Sehingga, kita dapat menuliskan persamaan:

x² + y² = 21²

2. Hitung panjang garis singgung persekutuan luar

Panjang garis singgung persekutuan luar dapat dihitung dengan menggunakan rumus pythagoras, yaitu:

a² + b² = c²

Kita asumsikan jarak antara kedua pusat lingkaran adalah a, jari-jari lingkaran pertama adalah r1, dan jari-jari lingkaran kedua adalah r2. Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar adalah 36 cm, sehingga:

a + a = 36 cm

2a = 36 cm

a = 18 cm

Sehingga, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah:

c = 2a + r1 + r2

 = 2(18 cm) + 7 cm + 14 cm

 = 57 cm

3. Hitung koordinat titik pusat barisan pusat

Kita dapat menarik sebuah garis dari pusat lingkaran kedua ke titik kontak pada garis singgung persekutuan luar. Garis ini akan membagi garis singgung tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang. Kita asumsikan titik pusat garis singgung persekutuan luar adalah (p, q), maka titik pusat barisan pusat adalah (x, y) dengan koordinat:

x = p + (r2 - r1)(q - y)/c

y = q + (r2 - r1)(x - p)/c

Substitusi nilai yang sudah diketahui, maka:

x = 0 + (14 cm - 7 cm)(q - y)/57 cm

y = q + (14 cm - 7 cm)(x - 0)/57 cm

Kita dapat menggabungkan dua persamaan tersebut dengan mengeliminasi variabel y, sehingga:

x = (p + (14 cm - 7 cm)² x/57 cm + (14 cm - 7 cm)q/57 cm) / (1 + (14 cm - 7 cm)²/57 cm²)

Kita juga dapat menggunakan persamaan lingkaran untuk mengeliminasi variabel y, sehingga:

y = √(21² - x²)

Substitusi persamaan ini ke dalam persamaan untuk x, maka kita dapat mencari nilai x:

x = (p + (14 cm - 7 cm)² x/57 cm + (14 cm - 7 cm)√(21² - x²)/57 cm) / (1 + (14 cm - 7 cm)²/57 cm²)

Sekarang kita bisa menyelesaikan persamaan ini dengan menggunakan metode numerik atau menggunakan kalkulator atau aplikasi untuk mencari nilai x-nya. Setelah kita mengetahui nilai x, kita dapat mencari nilai y dengan menggunakan persamaan y = √(21² - x²).

Dengan mengetahui koordinat titik pusat barisan pusat, kita dapat menghitung volume kerucut dengan jari-jari 14 cm dan tinggi 24 cm yang merupakan bagian dari topi ulang tahun. Volume kerucut tersebut dapat dihitung dengan rumus V = (1/3)πr²t, di mana r adalah jari-jari kerucut dan t adalah tinggi kerucut. Substitusi nilai yang diberikan, maka volume kerucutnya adalah:

V = (1/3)π(14 cm)²(24 cm)

 ≈ 6158,24 cm³ (dalam bentuk desimal) atau

 ≈ 19600/3 cm³ (dalam bentuk pecahan)

Namun, karena kita tidak mengetahui nilai koordinat titik pusat barisan pusat dan sulit untuk menyelesaikan persamaan secara analitik, maka saya tidak dapat memberikan nilai yang akurat untuk barisan pusat dan volume kerucut.

Penjelasan dengan langkah-langkah: