Jawab:

Untuk menentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis x - 2Y + 4 = 0 pada lingkaran x - 2² + y + 3² = 16, kita perlu melakukan beberapa langkah sebagai berikut:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Tentukan terlebih dahulu persamaan garis x - 2Y + 4 = 0 dalam bentuk umum y = mx + c, di mana m adalah kemiringan garis dan c adalah konstanta. Dalam hal ini, persamaan garis tersebut dapat dituliskan sebagai:

y = (1/2)x + 2

Tentukan titik potong antara garis x - 2Y + 4 = 0 dan lingkaran x - 2² + y + 3² = 16. Untuk melakukan ini, kita perlu men substitusikan persamaan garis y = (1/2)x + 2 ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh:

x - 2² + ((1/2)x + 2) + 3² = 16

x - 4 + (1/2)x + 13 = 16

(3/2)x = 7

x = 14/3

Substitusi x = 14/3 ke dalam persamaan garis y = (1/2)x + 2, diperoleh:

y = (1/2)(14/3) + 2

y = 23/3

Jadi, titik potong antara garis x - 2Y + 4 = 0 dan lingkaran x - 2² + y + 3² = 16 adalah (14/3, 23/3).

Tentukan kemiringan garis singgung pada titik potong tersebut. Kemiringan garis singgung adalah kebalikan dari gradien garis normal pada titik tersebut. Gradien garis normal pada titik (14/3, 23/3) dapat ditemukan dengan mengambil turunan pertama persamaan lingkaran x - 2² + y + 3² = 16 dan menghitung nilainya pada titik tersebut. Diperoleh:

2x - 4 + 2y = 0

y = -x/2 + 2

Gradien garis normal pada titik (14/3, 23/3) adalah -1/2. Oleh karena itu, kemiringan garis singgung pada titik tersebut adalah 2.

Gunakan persamaan titik-kemiringan garis untuk menentukan persamaan garis singgung pada titik (14/3, 23/3) dengan kemiringan 2. Diperoleh:

y - 23/3 = 2(x - 14/3)

y - 23/3 = 2x - 28/3

y = 2x - 17/3

Jadi, persamaan garis singgung yang tegak lurus garis x - 2Y + 4 = 0 pada lingkaran x - 2² + y + 3² = 16 adalah y = 2x - 17/3.