Kita dapat menyusun persamaan-persamaan berikut:

f(x) = q1(x)(x - 1) + 4 --> (1)

f(x) = q2(x)(x + 1) - 3 --> (2)

f(x) = q3(x)(x - 2) + 2 --> (3)

Kita ingin mencari sisa jika f(x) dibagi oleh (x - 1)(x + 1)(x - 2). Dengan kata lain, kita ingin mencari sisa f(x) dibagi dengan hasil kali (x - 1)(x + 1)(x - 2).

Jadi, kita perlu menggabungkan sisa-sisa dari persamaan (1), (2), dan (3) menjadi satu persamaan.

Mulai dengan persamaan (1):

f(x) = q1(x)(x - 1) + 4

Karena f(x) dapat dibagi oleh (x + 1), maka x = -1 merupakan akar dari f(x). Dengan mengganti x dengan -1, kita dapat menentukan sisa dari persamaan (1):

f(-1) = q1(-1)(-1 - 1) + 4

4 = -2q1(-2) + 4

-2q1(-2) = 0

q1(-2) = 0

Ini berarti (x + 1) membagi habis q1(x), sehingga q1(x) dapat ditulis sebagai q1(x) = (x + 1)q1'(x), di mana q1'(x) adalah polinomial lain.

Kita dapat menulis ulang persamaan (1) sebagai:

f(x) = (x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4 --> (4)

Selanjutnya, masukkan persamaan (4) ke persamaan (2):

(x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4 = q2(x)(x + 1) - 3

(x + 1)q1'(x)(x - 1) = q2(x)(x + 1) - 7

Karena f(x) dapat dibagi oleh (x - 2), maka x = 2 merupakan akar dari f(x). Dengan mengganti x dengan 2, kita dapat menentukan sisa dari persamaan tersebut:

2q1'(2)(2 - 1) = q2(2)(2 + 1) - 7

2q1'(2) = 3q2(2) - 7

3q2(2) = 2q1'(2) + 7

q2(2) = (2/3)q1'(2) + (7/3)

Ini berarti (x - 2) membagi habis q2(x), sehingga q2(x) dapat ditulis sebagai q2(x) = (x - 2)q2'(x), di mana q2'(x) adalah polinomial lain.

Kita dapat menulis ulang persamaan (2) sebagai:

(x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4 = (x - 2)q2'(x)(x + 1) - 3 --> (5)

Terakhir, masukkan persamaan (5) ke persamaan (3):

(x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4 = (x - 2)q2'(x)(x + 1) - 3

(x + 1)q1'(x)(x - 1) = (x - 2)q2'(x)(x + 1) - 7

Karena kita ingin menentukan sisa jika f(x) dibagi oleh (x - 1)(x + 1)(x - 2), maka kita perlu menggabungkan persamaan (4) dan (5) menjadi satu persamaan.

(x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4 = (x - 2)q2'(x)(x + 1) - 7

Kita dapat mengurangi persamaan tersebut untuk mendapatkan sisa:

[(x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4] - [(x - 2)q2'(x)(x + 1) - 7] = 0

Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan di atas:

(x + 1)q1'(x)(x - 1) - (x - 2)q2'(x)(x + 1) + 11 = 0

Kita ingin menentukan sisa dari persamaan ini ketika dibagi oleh (x - 1)(x + 1)(x - 2).

Dengan menggabungkan persamaan (x - 1)(x + 1)(x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 - x + 2, kita dapat menulis:

[(x + 1)q1'(x)(x - 1) - (x - 2)q2'(x)(x + 1) + 11] = [x^3 - 2x^2 - x + 2]q3(x) + R(x)

Di sini, R(x) adalah sisa yang kita cari.

Dengan membandingkan koefisien-koeffisien setiap pangkat x, kita dapat menentukan sisa R(x).

Mengingat bahwa (x + 1) membagi habis q1'(x) dan (x - 1) membagi habis x^3 - 2x^2 - x + 2, kita dapat menyimpulkan bahwa (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 membagi habis R(x).

Jadi, sisa jika f(x) dibagi oleh (x - 1)(x + 1)(x - 2) adalah x^2 - 1