Jawab:
a. Jarak titik C ke ABFE = 12 cm.
b. Jarak titik P ke BCGF = 12 cm.
c. Jarak titik D ke ACGE = 6√2 cm.
d. Jarak titik D ke ACH = 4√3 cm.
e. Jarak titik F ke ACH = 8√3 cm.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui: Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm.

a. Jarak titik C ke ABFE

Jarak titik C ke bidang ABFE sama dengan panjang rusuk BC, karena BC ⊥ ABFE.

∴  Jadi, jarak titik C ke ABFE = 12 cm.
_____________

b. Jarak titik P ke BCGF (Titik P = titik tengah AH)

Koreksi soal
Pada soal tertulis “Titik P ketitik tengah AH”. Titik P tidak diketahui. Maka, seharusnya “Titik P = titik tengah AH”.

Jika titik P merupakan titik tengah AH, maka titik P merupakan titik tengah garis diagonal bidang ADHE, yang sekaligus merupakan titik tengah bidang ADHE.

Bidang ADHE berhadapan dan sejajar dengan bidang BCGF. Maka, jarak titik P ke BCGF adalah jarak titik P ke titik tengah bidang BCGF, atau bisa dikatakan juga jarak titik P ke titik tengah garis diagonal BCGF (BG atau CF).

Jarak tersebut sama dengan panjang rusuk kubus, karena garis dari titik P ke titik tengah bidang BCGF sejajar dengan rusuk-rusuk AB, CD, EF, dan GH.

∴  Jadi, jarak titik P ke BCGF = 12 cm.
_____________

c. Jarak titik D ke ACGE

ACGE adalah bidang diagonal kubus, karena AC dan GE berturut-turut merupakan garis-garis diagonal bidang ABCD dan EFGH.

Jarak titik D ke ACGE adalah tinggi segitiga sama kaki ACD, yang sama dengan ½ kali panjang garis diagonal BD.

Sedangkan panjang garis diagonal bidang kubus sama dengan √2 kali panjang rusuknya.

Maka, jarak titik D ke ACGE adalah:
½ × r√2 = ½ × 12√2 = 6√2 cm.

∴  Jadi, jarak titik D ke ACGE = 6√2 cm.
_____________

d. Jarak titik D ke ACH

Kita dapat menggambar segitiga lain yang kongruen dan sekaligus sejajar dengan ΔACH, yaitu ΔBEG, sehingga terlihat bahwa ΔACH membagi garis diagonal ruang DF menjadi 1 : 2. Jarak titik D ke ACH adalah 1/3 kali panjang garis diagonal ruang kubus.

Panjang garis diagonal ruang kubus adala √3 kali panjang rusuknya.

Maka, jarak titik D ke ACH adalah:
(1/3) × r√3 = (1/3) × 12√3 = 4√3 cm.

Cara lain

Jarak titik D ke ACH sama dengan jarak titik D ke garis bagi sudut ∠AHC, atau garis tinggi ΔACH, jika AC adalah alasnya. Misalkan garis diagonal ruang DF memotong ΔACH di titik Q, maka jarak titik D ke ACH adalah panjang DQ.  

Hubungan cosinus atau kesebangunan yang terbentuk adalah:
DB / DF = DQ / (½DB)
⇒ DQ = (½DB²) / DF
⇒ DQ = DB² / 2DF
⇒ DQ = (r√2)² / (2r√3)
⇒ DQ = 2r² / 2r√3
⇒ DQ = r/√3 = (1/3)r√3
⇒ DQ = (1/3) × 12√3
⇒ DQ = 4√3 cm

∴  Jadi, jarak titik D ke ACH = 4√3 cm.
_____________

e. Jarak titik F ke ACH

Dari soal d, kita sudah tahu bahwa jarak titik D ke ACH adalah 1/3 kali panjang garis diagonal ruang DF. Atau, dengan menggunakan titik Q di atas, jarak titik F ke ACH adalah panjang QF.

QF = DF – QP
⇒ QF = 12√3 – 4√3 = (12 – 4)√3
⇒ QF = 8√3 cm

Atau dengan menggunakan perbandingan DQ : QF = 1 : 2.
QF = 2DQ = 2 × 4√3 = 8√3 cm

∴  Jadi, jarak titik F ke ACH = 8√3 cm.
_____________