2. Diantara himpunan vektor berikut, manakah yang merupakan basis untuk

Berikut ini adalah pertanyaan dari yunitaaprilina12 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

2. Diantara himpunan vektor berikut, manakah yang merupakan basis untuk P₂:a. (4+ 6x + x², -1+ 4x + 2x², 5+2x-x²}
b. (1+x+x², x+x² ,x²}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Akan dicari tahu apakah aataubyang merupakan basis di $P_2$ dengan mendefinisikan pemetaan linear bijektif $\phi : P_2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ .

Pendefinisian pemetaan $\phi$

Definisikan pemetaan $\phi : P_2 \rightarrow \mathbb{R}^2$

$\phi(a_2x^2+a_1x+a_0) = \left[\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right]$

dapat ditunjukan bahwa $\phi$ adalah transformasi linear yang bijektif

$\phi$ Transformasi linear

Ambil sembarang dua polinomial

$p(x) = a_2x^2+a_1x+a_0$

$q(x) = b_2x^2+b_1x+b_0$

dan sembarang skalar $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ , maka

$\phi(\alpha p(x) + \beta q(x)) = \phi\bigg(\alpha \bigg[a_2x^2+a_1x+a_0\bigg] + \beta \bigg[b_2x^2+b_1x+b_0\bigg] \bigg)$

$=\phi \bigg((\alpha a_2 + \beta b_2)x^2 + (\alpha a_1 +\beta b_1)x + (\alpha a_0+\beta b_0)\bigg)$

$= \left[\begin{array}{c}\alpha a_0 + \beta b_0\\\alpha a_1 + \beta b_1\\\alpha a_2 + \beta b_2\end{array}\right]$

$=\alpha \left[\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right] + \beta \left[\begin{array}{c}b_0\\b_1\\b_2\end{array}\right]$

$= \alpha \phi \big(p(x) \big) + \beta \phi \big(q(x) \big)$

didapat $\phi$ transformasi linear.

$\phi$ Bijektif

Akan ditunjukan $\phi$ bijektif dengan menunjukan bahwa $\phi$ pada (surjektif ) dan $\phi$ satu-satu (injektif)

$\phi$ Pada

Untuk setiap $v = \left[\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right] \in \mathbb{R}^3$ pilih $p(x) = a_2x^2+a_1x+a_0$ sehingga

$\phi(p(x)) = \left[\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right]$

didapat $\phi$ pada.

$\phi$ Satu-satu

Jika diberikan

$\phi(p(x))=\phi(q(x))$ , maka

$\left[\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}b_0\\b_1\\b_2\end{array}\right]$

sehingga berlaku persamaan polinomial

$p(x) = a_2x^2+a_1x+a_0 = b_2x^2+b_1x+b_0 = q(x)$

didapat $\phi$ satu-satu.

Sehingga $\phi$ pemetaan linear yang bijektif.

Akibat dari $\phi$ pemetaan linear yang bijektif.

Akibat dari $\phi$ pemetaan linear yang bijektif. Basis $B =\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$ di $P_2$ haruslah juga membuat himpunan $\phi(B) = \{\phi(b_1),\phi(b_2),\dots ,\phi(b_n)\}$ menjadi basis di $\mathbb{R}^3$ , dan sebaliknya.

Maka kita tinggal cek jika

$B_1 = \{x^2+6x+4, \ \ 2x^2+4x-1, \ \ -x^2+2x+5\}$

$B_2 = \{x^2+x+1, \ \ x^2+x, \ \ x^2\}$

manakah dibawah ini yang merupakan basis di $\mathbb{R}^3$

$\phi(B_1) = \displaystyle \bigg\{\left[\begin{array}{c}4\\6\\1\end{array}\right] , \left[\begin{array}{c}-1\\4\\2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}5\\2\\-1\end{array}\right]\bigg\}$

$\phi(B_2) = \displaystyle \bigg\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right] , \left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\bigg\}$

Dengan metode reduksi baris di $\mathbb{R}^2$ didapat bahwa $\phi(B_1)$ bukan merupakan basis, dan $\phi(B_2)$ membentuk suatu basis.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh faggot dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 09 Feb 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

2. Diantara himpunan vektor berikut, manakah yang merupakan basis untuk

Jawaban dan Penjelasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika