Jawab:

Seluruh pasangan bilangan bulat positif (a,b) yang memenuhi persamaan tersebut adalah (1,5), (2,6), dan (3,7).

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama-tama kita harus mengubah persamaan 3^a + 271 = 2^b × 5^3 menjadi bentuk yang lebih sederhana. Kita dapat melakukan hal ini dengan mengubah 3^a + 271 menjadi 2^b × 5^3. Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

3^a + 271 = (3^a + 27) × 9

= 3^a × 9 + 27 × 9

= 3^a × 3^2 + 3^1 × 3^2

= 3^(a+2) + 3^(1+2)

= 3^(a+2) + 3^3

Selanjutnya, kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut dengan cara mencari seluruh pasangan bilangan bulat positif (a,b) yang memenuhi 3^(a+2) + 3^3 = 2^b × 5^3. Dari persamaan tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa b merupakan bilangan bulat positif yang lebih besar dari 3. Selain itu, a+2 merupakan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari b.

Dengan demikian, kita dapat mencari seluruh pasangan bilangan bulat positif (a,b) yang memenuhi persamaan tersebut dengan cara mencari semua bilangan bulat positif b yang lebih besar dari 3, kemudian mencari semua bilangan bulat positif a yang memenuhi a+2 < b. Setelah itu, kita dapat mencari pasangan (a,b) dengan menghitung 3^(a+2) + 3^3 = 2^b × 5^3.

Berdasarkan analisis di atas, seluruh pasangan bilangan bulat positif (a,b) yang memenuhi persamaan tersebut adalah (1,5), (2,6), dan (3,7). Banyak permutasi yang dapat terjadi adalah 3.