1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan nilai dari [tex]\displaystyle \tan^2 20^\circ+\tan^2 40^\circ+\tan^2 80^\circ[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan nilai dari \displaystyle \tan^2 20^\circ+\tan^2 40^\circ+\tan^2 80^\circ

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°) = 33
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita akan mencari nilai dari tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°).

Kita dapat memperhatikan bahwa:

  • untuk θ = 20°, maka tan²(3θ) = tan²(60°) = (√3)² = 3,
  • untuk θ = 40°, maka tan²(3θ) = tan²(120°) = (–√3)² = 3, dan
  • untuk θ = 80°, maka tan²(3θ) = tan²(240°) = (√3)² = 3.

Sedangkan untuk tan(3θ):

\begin{aligned}\tan(3\theta)&=\tan(2\theta+\theta)\\&=\frac{\tan(2\theta)+\tan(\theta)}{1-\tan(2\theta)\tan(\theta)}\\&=\frac{\dfrac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}+\tan(\theta)}{1-\dfrac{2\tan^2(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}}\\&=\frac{\dfrac{2\tan(\theta)+\tan(\theta)-\tan^3(\theta)}{\cancel{1-\tan^2(\theta)}}}{\dfrac{1-\tan^2(\theta)-2\tan^2(\theta)}{\cancel{1-\tan^2(\theta)}}}\\&=\frac{2\tan(\theta)+\tan(\theta)-\tan^3(\theta)}{1-\tan^2(\theta)-2\tan^2(\theta)}\end{aligned}
\begin{aligned}\tan(3\theta)&=\frac{3\tan(\theta)-\tan^3(\theta)}{1-3\tan^2(\theta)}\\\end{aligned}

Karena tan²(3θ) = 3untuk setiapθ ∈ {20°, 40°, 80°}:

\begin{aligned}&\tan^2(3\theta)=\left[\frac{3\tan(\theta)-\tan^3(\theta)}{1-3\tan^2(\theta)}\right]^2\\&{\Rightarrow\ }3=\frac{\left[3\tan(\theta)-\tan^3(\theta)\right]^2}{\left[1-3\tan^2(\theta)\right]^2}\\&{\Rightarrow\ }\left[3\tan(\theta)-\tan^3(\theta)\right]^2=3\left[1-3\tan^2(\theta)\right]^2\\&{\Rightarrow\ }9\tan^2(\theta)+\tan^6(\theta)-6\tan^4(\theta)=3+27\tan^4(\theta)-18\tan^2(\theta)\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\tan^6(\theta)-(6-27)\tan^4(\theta)+(9+18)\tan^2(\theta)-3=0\\&{\Rightarrow\ }\tan^6(\theta)-33\tan^4(\theta)+27\tan^2(\theta)-3=0\\&{\sf Ambil\ }x=\tan(\theta).\\&{\Rightarrow\ }x^6-33x^4+27x^2-3=0\end{aligned}

Polinomial berderajat 6tersebut memiliki6 buah akar, dan kita sudah tahu 3 buah akarnya, yaitu x ∈ {tan(20°), tan(40°), tan(80°)}. Karena pada polinomial tersebut x berpangkat genap (6, 4, dan 2), dan kita juga tahu bahwa x² = (–x)², maka 3 buah akar lainnya adalah x ∈ {–tan(20°), –tan(40°), –tan(80°)}, sehingga benar bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan 0sesuai dengan koefisienx^5.

Sehingga, kuadrat dari jumlah akar-akar polinomial berderajat 6 tersebut adalah:

\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{6}x_i\right)^2=0^2=0

Jumlah dari kuadrat akar-akarnya adalah:
tan²(20°) + [–tan(20°)]² + tan²(40°) + [–tan(40°)]² + tan²(80°) + [–tan(80°)]²
= 2tan²(20°) + 2tan²(40°) + 2tan²(80°)
= 2[tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°)]

Hal ini dapat dinyatakan dengan:

\begin{aligned}\sum^6_{i=1}{x_i}^2=2\left[\tan^2(20^\circ)+\tan^2(40^\circ)+\tan^2(80^\circ)\right]\\\end{aligned}

Kemudian, untuk polinomial berderajat 6 ax^6 + bx^5 + cx^4+dx^3+ex^2+fx+g=0:

\begin{aligned}&x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_1x_5+x_1x_6\\&+x_2x_3+x_2x_4+x_2x_5+x_2x_6\\&+x_3x_4+x_3x_5+x_3x_6\\&+x_4x_5+x_4x_6\\&+x_5x_6\\&=\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j\\&=\frac{c}{a}\end{aligned}

Sehingga:

\begin{aligned}\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j=-33\end{aligned}

Dengan menjabarkan, kita juga dapat memperoleh:

\begin{aligned}&\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6\right)^2\\&{=\ }{x_1}^2+{x_2}^2+{x_4}^2+{x_4}^2+{x_5}^2+{x_6}^2\\&\quad+\ 2\left(\begin{matrix}x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_1x_5+x_1x_6\\+x_2x_3+x_2x_4+x_2x_5+x_2x_6\\+x_3x_4+x_3x_5+x_3x_6\\+x_4x_5+x_4x_6\\+x_5x_6\\\end{matrix}\right)\end{aligned}

Persamaan tersebut dapat dinyatakan dengan:

\begin{aligned}&\left(\sum_{i=1}^{6}x_i\right)^2=\sum^6_{i=1}{x_i}^2\ +2\left(\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j\right)\\&\Rightarrow \sum^6_{i=1}{x_i}^2=\left(\sum_{i=1}^{6}x_i\right)^2\ -2\left(\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j\right)\\\end{aligned}

Oleh karena itu,

\begin{aligned}&\sum^6_{i=1}{x_i}^2=0\ -2\left(\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j\right)\\&\Rightarrow\sum^6_{i=1}{x_i}^2=-2\left(\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j\right)\\\end{aligned}

Dari yang telah kita peroleh di atas:
2[tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°)] = –2 · (–33)
⇒ 2[tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°)] = 2  ·  33

∴  tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°) = 33
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 03 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>