Penjelasan dengan langkah-langkah:

1. Untuk menghitung nilai f(0.5) dengan menggunakan pendekatan deret Taylor sampai dengan 4 suku pertama, kita perlu mengetahui taylor series dari fungsi f(x) = ex. Taylor series dari fungsi f(x) = ex adalah sebagai berikut:

f(x) = ex = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...

Sekarang, kita dapat menggunakan deret Taylor tersebut untuk menghitung nilai f(0.5) sampai dengan 4 suku pertama.

f(0.5) = 1 + 0.5 + 0.5^2/2! + 0.5^3/3! + 0.5^4/4!

= 1 + 0.5 + 0.125 + 0.04166666666666666666666666667 + 0.0083333333333333333333333333333

= 1.73958333333333333333333333333

Jadi, nilai f(0.5) untuk fungsi f(x) = ex adalah 1.73958333333333333333333333333 jika dihitung menggunakan pendekatan deret Taylor sampai dengan 4 suku pertama.

Untuk menghitung galat mutlak dan galat relatif, kita perlu mengetahui nilai yang sebenarnya dari f(0.5). Nilai yang sebenarnya dari f(0.5) adalah e^0.5. Menggunakan kalkulator, nilai e^0.5 adalah 1.648721270700128.

Sekarang, kita dapat menghitung galat mutlak dan galat relatif sebagai berikut:

Galat mutlak = |1.73958333333333333333333333333 - 1.648721270700128| = 0.090862062

Galat relatif = |0.090862062 / 1.648721270700128| = 0.005501986

Jadi, galat mutlaknya adalah 0.090862062 dan galat relatifnya adalah 0.005501986.

2. Metode biseksi adalah metode yang digunakan untuk mencari akar persamaan non-linier dengan cara membagi interval yang mengandung akar tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Metode ini akan menghasilkan akar yang tidak jauh dari akar sebenarnya.

Untuk melakukan metode biseksi dengan nilai awal x₁ = -1 dan x₂ = 2, kita perlu melakukan beberapa langkah:

1. Tentukan interval yang mengandung akar dengan mencari nilai f(x₁) dan f(x₂). Jika f(x₁) dan f(x₂) memiliki tanda yang berbeda, maka interval tersebut mengandung akar.
2. Tentukan nilai tengah interval tersebut dengan mencari x₃ = (x₁ + x₂) / 2.
3. Tentukan nilai f(x₃). Jika f(x₃) = 0, maka x₃ adalah akar persamaan tersebut. Jika tidak, lanjutkan ke langkah selanjutnya.
4. Jika f(x₁) dan f(x₃) memiliki tanda yang berbeda, maka interval baru yang mengandung akar adalah [x₁, x₃]. Sebaliknya, jika f(x₂) dan f(x₃) memiliki tanda yang berbeda, maka interval baru yang mengandung akar adalah [x₃, x₂].
5. Ulangi langkah 2 sampai 5 hingga hasil yang diinginkan tercapai.

Dengan demikian, untuk mencari akar persamaan non linier f(x) = x³ - 3x² + 8x - 5 dengan metode biseksi, kita bisa melakukan beberapa iterasi seperti berikut:

Iterasi 1:

x₁ = -1, x₂ = 2, x₃ = (x₁ + x₂) / 2 = 0.5

f(x₁) = -1³ - 3(-1)² + 8(-1) - 5 = -1 - 3 + 8 - 5 = -1

f(x₂) = 2³ - 3(2)² + 8(2) - 5 = 8 - 12 + 16 - 5 = 7

f(x₃) = 0.5³ - 3(0.5)² + 8(0.5) - 5 = 0.125 - 0.75 + 4 - 5 = -0.625

Interval baru yang mengandung akar adalah [x₁, x₃] = [-1, 0.5]

Iterasi 2:

x₁ = -1, x₂ = 0.5, x₃ = (x₁ + x₂) / 2 = -0.25

f(x₁) = -1³ - 3(-1)² + 8(-1) - 5 = -1 - 3 + 8 - 5 = -1

f(x₃) = -0.25³ - 3(-0.25)² + 8(-0.25) - 5 = -0.015625 - 0.1875 + 2 - 5 = -3.171875

Interval baru yang mengandung akar adalah [x₁, x₃] = [-1, -0.25]

Iterasi 3:

x₁ = -1, x₂ = -0.25, x₃ = (x₁ + x₂) / 2 = -0.625

f(x₁) = -1³ - 3(-1)² + 8(-1) - 5 = -1 - 3 + 8 - 5 = -1

f(x₃) = -0.625³ - 3(-0.625)² + 8(-0.625) - 5 = -0.3984375 - 0.734375 + 5 - 5 = -2.1328125

Sementara itu, metode regula falsi adalah metode yang digunakan untuk mencari akar persamaan non-linier dengan cara mencari titik potong antara garis yang melalui dua titik pada grafik f(x) dengan sumbu x. Metode ini akan menghasilkan akar yang lebih dekat dengan akar sebenarnya daripada metode biseksi.