Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan nilai a dan b, kita harus memastikan bahwa kedua bagian fungsi tersebut dapat digabungkan menjadi satu fungsi yang kontinu dan differensiabel di x = 2.

f(x) = ax^3 + bx^2 - 4, x < 2

f(x) = x^2 - 3x + 5, x ≥ 2

Untuk membuat kedua bagian fungsi tersebut kontinu di x = 2, kita harus memastikan bahwa f(2) dari kedua bagian fungsi tersebut sama.

f(2) = a(2)^3 + b(2)^2 - 4 = 8a + 4b - 4 = x^2 - 3x + 5

8a + 4b - 4 = 4 - 6 + 5

8a + 4b = 5

Untuk membuat kedua bagian fungsi tersebut differensiabel di x = 2, kita harus memastikan bahwa f'(2) dari kedua bagian fungsi tersebut sama.

f'(x) = 3ax^2 + 2bx, x < 2

f'(x) = 2x - 3, x ≥ 2

f'(2) = 3a(2)^2 + 2b(2) = 12a + 4b = 2(2) - 3

12a + 4b = 1

Dengan menggunakan kedua persamaan yang diperoleh dari f(2) dan f'(2), kita dapat menentukan nilai a dan b dengan menyelesaikan sistem persamaan linier berikut:

8a + 4b = 5

12a + 4b = 1

a = -1/4 , b = 7/4

Jadi nilai a dan b yang membuat fungsi f(x) differensiabel di x = 2 adalah a = -1/4 dan b = 7/4.