1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Jika x⁷ + x⁻⁷ = 843 maka nilai dari x⁵

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika x⁷ + x⁻⁷ = 843 maka nilai dari x⁵ + x⁻⁵ = ...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika x⁷ + x⁻⁷ = 843 maka nilai dari x⁵ + x⁻⁵ = 123, untuk x bilangan real.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan persamaan

\begin{aligned}x^7+x^{-7}&=843\end{aligned}

Dengan mengambil p=x^7, persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi

\begin{aligned}p+\frac{1}{p}&=\frac{p^2+1}{p}=843\end{aligned}

x^5+x^{-5} juga dapat dinyatakan dengan

\begin{aligned}q+\frac{1}{q}&=\frac{q^2+1}{q}\end{aligned}

dengan q=x^5.

Oleh karena itu, [(x² + 1) / x]adalahfaktorbaik darix^7+x^{-7}maupun darix^5+x^{-5}.

Dengan kata lain, terdapat xbilangan real yang memenuhix^7+x^{-7}=843, yang merupakan akar dari (x² + 1) / x = A, di mana A adalah salah satu faktor dari 843.

Kita perhatikan juga bahwa 7 dan 5 adalah bilangan ganjil, sehingga nilai x pasti positif karena 843 positif.

Faktorisasi prima dari 843 adalah 3 × 289.
Oleh karena itu, kemungkinan nilai A adalah 3 atau 289.

Pemfaktoran x^7+x^{-7} dengan faktor [(x² + 1) / x] dapat dilakukan sebagai berikut.

\begin{aligned}&x^7+x^{-7}\\&{=\ }\frac{x^{14}+1}{x^7}\\&{=\ }\frac{\left(x^2+1\right)\left(x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^6+x^4-x^2+1\right)}{x^7}\\&{=\ }\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\left(\frac{x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^6+x^4-x^2+1}{x^6}\right)\\&{=\ }\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\left(x^6-x^4+x^2-1+x^{-2}-x^{-4}+x^{-6}\right)\\\end{aligned}

Kita perhatikan bahwa

\begin{aligned}\frac{x^2+1}{x}\ < \ \left(x^6-x^4+x^2-1+x^{-2}-x^{-4}+x^{-6}\right) \end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}\frac{x^2+1}{x} = x + x^{-1} = 3\end{aligned}

Ekspansi dari \left(x + x^{-1}\right)^5 adalah:

\begin{aligned}\left(x+x^{-1}\right)^5&=x^5+5x^4x^{-1}+10x^3x^{-2}+10x^2x^{-3}+5xx^{-4}+x^{-5}\\&=x^5+x^{-5}+5\left[x^3+2\left(x+x^{-1}\right)+x^{-3}\right]\\&\quad\rightarrow \left(x+x^{-1}\right)^3=x^3+3\left(x+x^{-1}\right)+x^{-3}\\&=x^5+x^{-5}+5\left[\left(x+x^{-1}\right)^3-\left(x+x^{-1}\right)\right]\end{aligned}

sehingga:

\begin{aligned}x^5+x^{-5}&=\left(x+x^{-1}\right)^5-5\left[\left(x+x^{-1}\right)^3-\left(x+x^{-1}\right)\right]\\&=\left(x+x^{-1}\right)\left[\left(x+x^{-1}\right)^4-5\left[\left(x+x^{-1}\right)^2-1\right]\right]\\&=3\left[3^4-5\left(3^2-1\right)\right]\\&=3\left[81-40\right]\\&=3\cdot41\\\therefore\ x^5+x^{-5}&=\boxed{\,\bf123\,}\ \ {\sf untuk\ }x\in\mathbb{R}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 11 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>