1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

● QUIZTentukan matriks X yang memenuhi persamaan matriks berikut!​

Berikut ini adalah pertanyaan dari SriPujiyantoMSi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

● QUIZ
Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan matriks berikut!​
● QUIZTentukan matriks X yang memenuhi persamaan matriks berikut!​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Matriks Xyang memenuhipersamaan matriks

\begin{aligned}\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 \\2 & 3 & 0 \\0 & 2 & 1\end{bmatrix}X&=\begin{bmatrix}2 & -1 & 5 & 7 & 8 \\4 & 0 & -3 & 0 & 1 \\3 & 5 & -7 & 2 & 1\end{bmatrix}\end{aligned}

adalah

\large\text{$\begin{aligned}X&=\begin{bmatrix}\vphantom{\Bigg|}\bf1 & \bf-2 & \bf3 & \bf\dfrac{5}{3} & \bf\dfrac{8}{3} \\\vphantom{\Bigg|}\bf\dfrac{2}{3} & \bf\dfrac{4}{3} & \bf-3 & \bf\dfrac{-10}{9} & \bf\dfrac{-13}{9} \\\vphantom{\Bigg|}\bf\dfrac{5}{3} & \bf\dfrac{7}{3} & \bf-1 & \bf\dfrac{38}{9} & \bf\dfrac{35}{9}\end{bmatrix}\end{aligned}$}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Bentuk persamaan matriks yang diberikan adalah AX=B dengan

\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 \\2 & 3 & 0 \\0 & 2 & 1\end{bmatrix}\,,\ B=\begin{bmatrix}2 & -1 & 5 & 7 & 8 \\4 & 0 & -3 & 0 & 1 \\3 & 5 & -7 & 2 & 1\end{bmatrix}\end{aligned}

Menggunakan sifat inversdanidentitas matriks, matriks X dapat dicari dengan cara:

\begin{aligned}AX&=B\\A^{-1}AX&=A^{-1}B\\\Rightarrow\ X&=A^{-1}B\\\end{aligned}

Oleh karena itu, kita tentukan invers dari matriks A terlebih dahulu.

Ada beberapa cara untuk menentukan invers matriks berordo n×n dengan n > 2. Saya akan lakukan dengan OBE - Eliminasi Gauss.

\begin{aligned}&\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&1&1&0&0\\2&3&0&0&1&0\\0&2&1&0&0&1\end{array}\end{bmatrix}\\\begin{array}{r}R_2-2R_1\to R_2\end{array}\Rightarrow &\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&1&1&0&0\\0&5&-2&-2&1&0\\0&2&1&0&0&1\end{array}\end{bmatrix}\end{aligned}
\begin{aligned}\begin{array}{r}R_2/5\to R_2\end{array}\Rightarrow &\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&1&1&0&0\\\vphantom{\Big|}0&1&\frac{-2}{5}&\frac{-2}{5}&\frac{1}{5}&0\\0&2&1&0&0&1\end{array}\end{bmatrix}\\\begin{array}{r}R_3-2R_2\to R_3\end{array}\Rightarrow &\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&1&1&0&0\\\vphantom{\Big|}0&1&\frac{-2}{5}&\frac{-2}{5}&\frac{1}{5}&0\\0&0&\frac{9}{5}&\frac{4}{5}&\frac{-2}{5}&1\end{array}\end{bmatrix}\\\end{aligned}
\begin{aligned}\begin{array}{r}5R_3/9\to R_3\end{array}\Rightarrow &\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&1&1&0&0\\\vphantom{\Big|}0&1&\frac{-2}{5}&\frac{-2}{5}&\frac{1}{5}&0\\0&0&1&\frac{4}{9}&\frac{-2}{9}&\frac{5}{9}\end{array}\end{bmatrix}\end{aligned}
\begin{aligned}\begin{array}{r}R_2+2R_3/5\to R_2\end{array}\Rightarrow &\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&1&1&0&0\\\vphantom{\Big|}0&1&0&\frac{-2}{9}&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\0&0&1&\frac{4}{9}&\frac{-2}{9}&\frac{5}{9}\end{array}\end{bmatrix}\end{aligned}
\begin{aligned}\begin{array}{r}R_1+R_2\to R_1\end{array}\Rightarrow &\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&\frac{7}{9}&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\\vphantom{\Big|}0&1&0&\frac{-2}{9}&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\0&0&1&\frac{4}{9}&\frac{-2}{9}&\frac{5}{9}\end{array}\end{bmatrix}\\\end{aligned}
\begin{aligned}\begin{array}{r}R_1-R_3\to R_1\end{array}\Rightarrow &\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\bf\frac{1}{3}&\bf\frac{1}{3}&\bf\frac{-1}{3}\\\vphantom{\Big|}0&1&0&\bf\frac{-2}{9}&\bf\frac{1}{9}&\bf\frac{2}{9}\\0&0&1&\bf\frac{4}{9}&\bf\frac{-2}{9}&\bf\frac{5}{9}\end{array}\end{bmatrix}\\\end{aligned}

Jadi, invers dari matriks A adalah:

\begin{aligned}A^{-1}=\begin{bmatrix}\vphantom{\Bigg|}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{-1}{3}\\\vphantom{\bigg|}\dfrac{-2}{9}&\dfrac{1}{9}&\dfrac{2}{9}\\\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4}{9}&\dfrac{-2}{9}&\dfrac{5}{9}\end{bmatrix}\end{aligned}

Atau, dapat juga ditulis sebagai:

\begin{aligned}A^{-1}=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}3&3&-3\\-2&1&2\\4&-2&5\end{bmatrix}\end{aligned}

Kemudian, penyelesaian untuk X adalah:

\begin{aligned}X&=A^{-1}B\\&=A^{-1}=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}3&3&-3\\-2&1&2\\4&-2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & -1 & 5 & 7 & 8 \\4 & 0 & -3 & 0 & 1 \\3 & 5 & -7 & 2 & 1\end{bmatrix}\\&=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}6+12-9&-3+0-15&15-9+21&21+0-6&24+3-3\\-4+4+6&2+0+10&-10-3-14&-14+0+4&-16+1+2\\8-8+15&-4+0+25&20+6-35&28+0+10&32-2+5\end{bmatrix}\\&=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}9&-18&27&-15&24\\6&12&-27&-10&-13\\15&21&-9&38&35\end{bmatrix}\end{aligned}

\begin{aligned}\therefore\ X&=\begin{bmatrix}\vphantom{\bigg|}\bf1 & \bf-2 & \bf3 & \bf\dfrac{5}{3} & \bf\dfrac{8}{3} \\\vphantom{\Bigg|}\bf\dfrac{2}{3} & \bf\dfrac{4}{3} & \bf-3 & \bf\dfrac{-10}{9} & \bf\dfrac{-13}{9} \\\vphantom{\bigg|}\bf\dfrac{5}{3} & \bf\dfrac{7}{3} & \bf-1 & \bf\dfrac{38}{9} & \bf\dfrac{35}{9}\end{bmatrix}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 30 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>