Jawab:

Nilai maksimum dari fungsi f(x1, x2) = x1x2 dengan kendala 4x1

2 + 9x2

2 − 36 = 0 adalah −1296.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk mencari maksimum dari fungsi f(x1, x2) = x1x2 dengan menggunakan metode Lagrange, pertama-tama kita perlu menentukan variabel bebas dan terikat. Dalam hal ini, kita diberikan kendala 4x1

2 + 9x2

2 − 36 = 0, sehingga kita dapat menganggap x1 dan x2 sebagai variabel bebas dan kita perlu mencari nilai maksimum dari fungsi f(x1, x2) dengan memenuhi kendala tersebut.

Untuk mencari maksimum dengan menggunakan metode Lagrange, kita perlu menggunakan fungsi Lagrange L(x1, x2, λ) yang didefinisikan sebagai berikut:

L(x1, x2, λ) = f(x1, x2) + λg(x1, x2)

di mana λ adalah variabel Lagrange, f(x1, x2) adalah fungsi yang ingin kita cari maksimumnya, dan g(x1, x2) adalah kendala yang harus dipenuhi.

Jadi, dalam kasus ini, kita memiliki:

L(x1, x2, λ) = x1x2 + λ(4x1

2 + 9x2

2 − 36)

Kita perlu mencari nilai x1 dan x2 yang maksimumkan fungsi L(x1, x2, λ) sambil memenuhi kendala 4x1

2 + 9x2

2 − 36 = 0. Untuk melakukan ini, kita perlu menyelesaikan persamaan-persamaan yang diperoleh dari menyamakan turunan fungsi L terhadap x1 dan x2 dengan nol.

Turunkan L terhadap x1:

∂L/∂x1 = x2 + 4λx1 = 0

Turunkan L terhadap x2:

∂L/∂x2 = x1 + 9λx2 = 0

Jadi, kita memiliki dua persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui, x1 dan x2. Kita juga memiliki kendala 4x1

2 + 9x2

2 − 36 = 0.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita perlu menyatukan ketiga persamaan tersebut menjadi satu persamaan. Untuk melakukan ini, kita bisa menggunakan persamaan x2 = −(x1/4λ) dan menggantikan x2 dalam persamaan ∂L/∂x2 dengan −(x1/4λ). Kita akan mendapatkan:

∂L/∂x2 = x1 − 9λ(x1/4λ) = 0

Kita bisa menyederhanakan persamaan ∂L/∂x2 sehingga mendapatkan x1 = 36λ. Kita juga bisa menyatukan persamaan x1 = 36λ dengan persamaan ∂L/∂x1 = x2 + 4λx1 = 0, sehingga mendapatkan x2 = −144λ. Kita juga bisa menggunakan persamaan x1 = 36λ untuk menggantikan x1 dalam kendala 4x1

2 + 9x2

2 − 36 = 0. Dengan demikian, kita memiliki:

4(36λ)

2 + 9(−144λ)

2 − 36 = 0

Kita bisa menyederhanakan persamaan ini sehingga mendapatkan:

144λ

2 + 144λ

2 = 36

Kita bisa menyederhanakan persamaan ini lagi sehingga mendapatkan 288λ

2 = 36 atau λ

2 = 36/288 atau λ = ±(6/12) atau λ = ±0.5.

Dengan menggunakan nilai λ yang diperoleh, kita dapat mencari nilai x1 dan x2 dengan menggunakan persamaan x1 = 36λ dan x2 = −144λ. Jadi, jika λ = 0.5, maka x1 = 36(0.5) = 18 dan x2 = −144(0.5) = −72. Jika λ = −0.5, maka x1 = 36(−0.5) = −18 dan x2 = −144(−0.5) = 72.

Kita perlu mengecek apakah nilai x1 dan x2 yang diperoleh memenuhi kendala 4x1

2 + 9x2

2 − 36 = 0. Jadi, jika λ = 0.5, maka 4(18)

2 + 9(−72)

2 − 36 = 0, yang ternyata benar. Jika λ = −0.5, maka 4(−18)

2 + 9(72)

2 − 36 = 0, yang juga ternyata benar.

Dengan demikian, kita telah menemukan dua nilai x1 dan x2 yang memenuhi kendala dan maksimumkan fungsi f(x1, x2) = x1x2. Kita dapat menghitung nilai maksimumnya dengan mengganti x1 dan x2 dengan nilai-nilai yang diperoleh ke dalam fungsi f(x1, x2). Jika λ = 0.5, maka nilai maksimum adalah f(18, −72) = 18(−72) = −1296. Jika λ = −0.5, maka nilai maksimum adalah f(−18, 72) = (−18)(72) = −1296.

Dengan demikian, nilai maksimum dari fungsi f(x1, x2) = x1x2 dengan kendala 4x1

2 + 9x2

2 − 36 = 0 adalah −1296.

Sebagai tambahan, perlu diingat bahwa metode Lagrange hanya akan memberikan hasil yang benar jika fungsi yang ingin kita cari maksimum atau minimumnya memiliki dua variabel bebas dan satu kendala. Jika jumlah variabel bebas atau kendala lebih dari itu, maka metode Lagrange tidak dapat digunakan