1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Nilai dari [tex] \displaystyle \int\limits_{-2}^3 \dfrac{1}{x^3} \, \mathrm dx [/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari samuel312021058 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Nilai dari \displaystyle \int\limits_{-2}^3 \dfrac{1}{x^3} \, \mathrm dx adalah...a. \infty
b. \dfrac{5}{72}
c. \dfrac 14
d \dfrac 12
e. 4\dfrac 23
Jawab yang benar dan berikan penjelasan dan cara secara benar dan akurat.​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Berapa nilai dari \displaystyle\int\limits^{3}_{-2} \frac{1}{x^3} \, \mathrm dx?

Mungkin bagi sebagian besar Anda, akan memilih opsi b. \dfrac{5}{72} dengan penyelesaian berikut.

\begin{aligned} \displaystyle\int\limits^{3}_{-2} \frac{1}{x^3} \, \mathrm dx &= \left.-\frac{1}{2x^2} \right|^3_{-2}\\ &=\left[-\frac{1}{2(3)^2}\right]-\left[-\dfrac{1}{2(-2)^2} \right] \\ &=-\frac{1}{18}-\left(-\frac{1}{8}\right) \\ &= \frac{5}{72} \end{aligned}

Akan tetapi jawaban dan opsi ini salah. Mengapa demikian? Karena integral ini merupakan integral tak wajar (improper integral) dan termasuk dalam tipe kedua dari integral tak wajar. Tipe ini merujuk pada integran atau sebutan untuk fungsi yang diintegralkan ini tidak terdefinisi pada salah satu titik atau lebih pada batas integralnya, [a,b] dengan keberadaan diskontinuitas fungsinya berada pada titik, x=0. Untuk hal ini kita perlu membagi integralnya menjadi dua bagian, dengan intervalnya, [-2,0) \cup (0,3] dan dengan demikian kita akan menggunakan konsep limit satu sisi (\lim\limits_{\tau\to c^\pm} f(c)), dengan rumus berikut.

\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \,\mathrm dx =\int\limits_a^c f(x) \,\mathrm dx+\int\limits_c^b f(x) \, \mathrm dx

Nah untuk mengetahui apakah integral ini konvergen atau divergen, adalah ketika limit tersebut masih ada dalam artian hasil dari limitnya masih berbentuk bilangan bulat dan tidak menghasilkan, \pm \infty, maka satu atau lebih integral tak wajarnya dapat dinyatakan sebagai konvergen, akan tetapi jika limitnya gagal untuk ada dengan hasil dari limit tersebut ternyata menghasilkan \pm \infty, maka dinyatakan divergen.

######################################################

Maka sekarang mari kita coba periksa integral tak wajar ini.

\begin{aligned} \displaystyle \int\limits^{-2}_3 {\frac 1{x^3}} \, \mathrm dx &= \lim_{\tau\to0^-}\left(\int\limits_{-2}^\tau \frac{1}{x^3} \, \mathrm dx\right) + \lim_{\tau\to0^+}\left(\int\limits_{-2}^\tau \frac{1}{x^3} \, \mathrm dx\right) \\ &= \lim_{\tau\to0^-}\left(-\frac{1}{2x^2}\Bigg|^\tau_{-2} \right)+\lim_{\tau\to0^+}\left(-\frac{1}{2x^2}\Bigg|^3_\tau\right) \\ &= \lim_{\tau\to0^-}\left(-\frac{1}{2\tau^2}+\frac18\right)+\lim_{\tau\to0^+}\left(-\frac{1}{18}+\frac{1}{2\tau^2} \right) \end{aligned}

\begin{aligned}\displaystyle\int\limits^{3}_{-2} \frac{1}{x^3} \, \mathrm dx &= \lim_{\tau\to0^-}\left(-\frac{1}{2\tau^2}+\frac18\right)+\lim_{\tau\to0^+}\left(-\frac{1}{18}+\frac{1}{2\tau^2} \right) \\ &=\infty \end{aligned}

Karena limitnya menghasilkan \infty, dan gagal untuk ada maka integral tak wajar dapat dinyatakan sebagai divergen (diverges).

Jadi jawabannya adalah \boxed{\text a. \,\infty}.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh arthurkangdani dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 13 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>