Jawab:  1155

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita dapat menggunakan sistem persamaan untuk menyelesaikan masalah ini. Pertama, karena a habis dibagi 3, maka a dapat dinyatakan sebagai 3b, dengan b adalah bilangan bulat.

Kedua, karena a^2 habis dibagi 5, maka 3b^2 habis dibagi 5, sehingga b^2 habis dibagi 5. Dengan demikian, b dapat dinyatakan sebagai 5c atau 5c ± 1, dengan c adalah bilangan bulat.

Ketiga, karena a^3 habis dibagi 7, maka 3b^3 habis dibagi 7, sehingga b^3 habis dibagi 7. Dengan demikian, b dapat dinyatakan sebagai 7d atau 7d ± 1 atau 7d ± 2, dengan d adalah bilangan bulat.

Karena a₁ > 105, maka a1 harus sama dengan 3 × 5 × 7 atau lebih besar. Oleh karena itu, b harus sama dengan 5c ± 1 atau 5c ± 2 atau lebih besar. Dalam hal ini, b harus lebih besar dari 5, karena jika b ≤ 5, maka a < 105.

Karena kita mencari nilai k terkecil sehingga ak > 1000, kita perlu mencari nilai terbesar dari b dan d yang masih memenuhi kondisi-kondisi di atas dan k kemudian didefinisikan sebagai 3 × 5 × 7 × ... × p, dengan p adalah bilangan prima terbesar yang masih memenuhi kondisi tersebut.

Dengan melihat nilai-nilai b dan d yang mungkin, kita dapat mencoba beberapa nilai dan menemukan bahwa b = 6 dan d = 1 adalah nilai terbesar yang memenuhi semua kondisi. Oleh karena itu, a = 3 × 6 = 18 dan k = 3 × 5 × 7 × 11 = 1155.

Kemudian kita dapat memeriksa bahwa a₁ + a₂ + a₃ = 18 + 180 + 924 = ¹05 dan ak = 18³ = 5832 > 1000. Sehingga nilai k terkecil yang memenuhi kondisi adalah 1155.