yomemimo.com

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

second order linear homogeneous ode y"+4y'+5y=0 jika y(0)=2 y'=(0)=-5

Berikut ini adalah pertanyaan dari meirosa350 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Second order linear homogeneous ode
y"+4y'+5y=0 jika y(0)=2 y'=(0)=-5

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Solusi dari $y''+4y'+5y=0$ , y(0) = 2, y'(0) = -5 adalah $\boldsymbol{y=e^{-2x}(-sinx+2cosx)}$ .

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial (PD) orde 2 homogen mempunyai bentuk :

$Ay''+By'+Cy=0$

PD ini memiliki persamaan karakteristik berupa persamaan kuadrat:

$Ar^2+Br+C=0$

Untuk solusi PD homogen ada 3 kemungkinan :

1. Jika akar akarnya real dan berbeda, maka $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ .

2. Jika akarnya real dan kembar, maka $y=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}$ .

3. Jika akarnya imajiner a ± bi, maka $y=e^{ax}(C_1sinbx+C_2cosbx)$

.

DIKETAHUI

$y''+4y'+5y=0$ , y(0) = 2, y'(0) = -5.

.

DITANYA

Tentukan solusinya.

.

PENYELESAIAN

> Mencari solusi umum.

$y''+4y'+5y=0$

Persamaan karakteristiknya adalah :

$r^2+4r+5=0$

$\displaystyle{r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} }$

$\displaystyle{r_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4(1)(5)}}{2(1)} }$

$\displaystyle{r_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2} }$

$\displaystyle{r_{1,2}=\frac{-4\pm2\sqrt{-1}}{2} }$

$\displaystyle{r_{1,2}=-2\pm\sqrt{-1} }$

$\displaystyle{r_{1,2}=-2\pm i }$

.

Karena akar akarnya imajiner -2 ± 1i, dengan a = -2 dan b = 1, maka solusi umumnya :

$y=e^{ax}(C_1sinbx+C_2cosbx)$

$y=e^{-2x}(C_1sinx+C_2cosx)$

.

> Mencari solusi khusus.

Kita cari solusi khususnya dengan mencari nilai dari C₁ dan C₂ dengan memasukkan kondisi y(0) = 2, y'(0) = -5 .

$y=e^{-2x}(C_1sinx+C_2cosx)$

$y'=-2e^{-2x}(C_1sinx+C_2cosx)+e^{-2x}(C_1cosx-C_2sinx)$

$y'=e^{-2x}\left [ -2C_1sinx-2C_2cosx+C_1cosx-C_2sinx \right ]$

.

$y(0)=2$

$e^{-2(0)}[C_1sin(0)+C_2cos(0)]=2$

$1[0+C_2(1)]=2$

$C_2=2$

.

$y'(0)=-5$

$e^{-2(0)}\left [ -2C_1sin(0)-2C_2cos(0)+C_1cos(0)-C_2sin(0) \right ]=-5$

$1\left [ 0-2(2)(1)+C_1(1)-(2)(0) \right ]=-5$

$-4+C_1=-5$

$C_1=-1$

.

Diperoleh solusi khususnya :

$y=e^{-2x}(C_1sinx+C_2cosx)$

$y=e^{-2x}(-sinx+2cosx)$

.

KESIMPULAN

Solusi dari $y''+4y'+5y=0$ , y(0) = 2, y'(0) = -5 adalah $\boldsymbol{y=e^{-2x}(-sinx+2cosx)}$ .

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

PD orde 2 non homogen : yomemimo.com/tugas/37247469
PD orde 2 non homogen : yomemimo.com/tugas/37242653
PD orde 3 homogen : yomemimo.com/tugas/37403796

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 16 Jul 23

<< Previous Post