Peluangterpilihnyasatu titikpadadaerah Pyang beradadi luar kurva y² = –x² + 10x – 4y + 7 adalah:
¼(4 – π), atau 0,215 jika menggunakan konstanta π = 3,14.
 

Pembahasan

Diketahui

• Daerah P dibatasi oleh titik-titik:
  A(–1, –2), B(–1, 4), C(5, 4), dan D(5, –2).
• Terdapat kurva y² = –x² + 10x – 4y + 7

Ditanyakan

• Peluang terpilih satu titik pada daerah P yang berada di luar kurva tersebut.

Penyelesaian

Pertama-tama, identifikasi daerah P.

• Absis titik A dan B sama, yaitu –1.
  ⇒ Garis AB sejajar sumbu-y.
• Absis titik C dan D sama, yaitu 5.
  ⇒ Garis CD sejajar sumbu-y.
• Ordinat titik B dan C sama, yaitu 4.
  ⇒ Garis BC sejajar sumbu-x.
• Ordinat titik D dan A sama, yaitu –2.
  ⇒ Garis DA sejajar sumbu-y.
• Panjang garis AB = panjang garis CD
  = |4 – (–2)| = |–2 – 4| = 6 satuan
• Panjang garis BC = panjang garis DA
  = |5 – (–1)| = |–1 – 5| = 6 satuan

Oleh karena itu, daerah P berbentuk persegi dengan panjang sisi 6 satuan.

Kemudian, identifikasi kurva.
y² = –x² + 10x – 4y + 7
⇒ x² + y² – 10x + 4y = 7
⇒ x² – 10x + 25 + y² + 4y + 4 = 7 + 29
⇒ (x – 5)² + (y + 2)² = 36

• Kurva merupakan kurva tertutup berbentuk lingkaran.
• Titik pusat lingkaran: O(5, –2)
• Jari-jari lingkaran: r = √36 = 6 satuan.

Ternyata, kurva y² = –x² + 10x – 4y + 7 merupakan lingkaran yang berpusat di titik D, dan memiliki panjang jari-jari sama dengan panjang sisi persegi daerah P. Sehingga, garis busur kurva y² = –x² + 10x – 4y + 7 melalui 2 titik batas daerah P, yaitu A(–1, –2) dan C(5, 4).

Oleh karena itu, daerah irisan antara daerah P dan daerah di dalam lingkaran adalah juring ¼ lingkaran.

Dengan memisalkan lingkaran sebagai L, kita dapat menyatakan daerah pemilihan titik sebagai P – L, atau P ∩ L’ (irisan P dengan komplemen L).

Menghitung Peluang Terpilihnya Satu Titik ∈ P ∩ L’

Dengan panjang sisi dan panjang jari-jari sama, anggap saja s, peluang terpilihnya satu titik dalam daerah P ∩ L’ sama dengan perbandingan antara luas P ∩ L’ dengan luas daerah P.

Peluang = (luas P ∩ L’) / (luas persegi)
⇒ Peluang = (luas persegi – luas juring ¼ lingkaran) / (luas persegi)
⇒ Peluang = 1 – (luas juring ¼ lingkaran) / (luas persegi)
⇒ Peluang = 1 – ¼πs²/s²
⇒ Peluang = 1 – ¼π
⇒ Peluang = ¼(4 – π)
Jika menggunakan π = 3,14:
⇒ Peluang = ¼(4 – 3,14) = ¼(0,86)
⇒ Peluang = ¼(0,8) + ¼(0,06)
⇒ Peluang = 0,2 + 0,015
⇒ Peluang = 0,215

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, peluang terpilihnya satu titik pada daerah P yang berada di luar kurva y² = –x² + 10x – 4y + 7 adalah ¼(4 – π), atau 0,215 jika menggunakan konstanta π = 3,14.