1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

help[tex] \frac{2x + 5}{x - 1} < \frac{x

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Help \frac{2x + 5}{x - 1} < \frac{x + 2}{x + 6 \\ }
.
.
.
.
.
\\ \\
​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Selang nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

\dfrac{2x + 5}{x - 1}\ < \ \dfrac{x + 2}{x + 6}

adalah:

\begin{aligned}x\in\bf\left ( {-}4\left(2+\sqrt{2}\right),\ -6 \right )\:\cup\:\left ( {-}4\left(2-\sqrt{2}\right) < x < 1 \right )\end{aligned}

Himpunan penyelesaian:

\begin{aligned}\left \{ x\mid{\bf{-}4\left(2+\sqrt{2}\right)} < x < {\bf{-}6}\ \:{\sf atau}\:\ {\bf{-}4\left(2-\sqrt{2}\right)} < x < \bf1\right \}\end{aligned}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

\begin{aligned}&\frac{2x + 5}{x - 1}\ < \ \frac{x + 2}{x + 6}\\&\Rightarrow \frac{2x + 5}{x - 1}-\frac{x + 2}{x + 6}\ < \ 0\\&\Rightarrow \frac{(2x+5)(x+6)-(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+6)}\ < \ 0\\&\Rightarrow \frac{2x^2+17x+30-\left(x^2+x-2\right)}{(x-1)(x+6)}\ < \ 0\\&\Rightarrow \frac{x^2+16x+32}{(x-1)(x+6)}\ < \ 0\\\end{aligned}

Dari penyebut, titik kritis untuk pertidaksamaan tersebut adalah:

x=1,\ x=-6

Untuk pembilang:

\begin{aligned}&x^2+16x+32 < 0\\&\Rightarrow x^2+16x+64-32 < 0\\&\Rightarrow (x+8)^2-32 < 0\\&\Rightarrow (x+8)^2 < 32\\&\textsf{Untuk $u^n < a$, jika $n$ genap, maka:}\\&\quad -\sqrt[n]{a} < u < \sqrt[n]{a}\\&\Rightarrow -\sqrt{32} < x+8 < \sqrt{32}\\&\Rightarrow -8-\sqrt{32} < x < -8+\sqrt{32}\\&\Rightarrow -8-4\sqrt{2} < x < -8+4\sqrt{2}\\&\Rightarrow -4\left(2+\sqrt{2}\right) < x < -4\left(2-\sqrt{2}\right)\\\end{aligned}

Dari langkah terakhir, secara implisit kita telah memperoleh akar-akar dari fungsi pada pembilang.
Untuk membantu pemeriksaan interval/selang nilai x, kita faktorkan fungsi rasionalnya secara lengkap.

\begin{aligned}&\frac{x^2+16x+32}{(x-1)(x+6)}\\&{=\ }\frac{\left[x-\left(-4\left(2+\sqrt{2}\right)\right)\right]\left[x-\left(-4\left(2-\sqrt{2}\right)\right)\right]}{(x-1)(x+6)}\\&{=\ }\frac{\left [ x+4\left(2+\sqrt{2}\right) \right ]\left [ x+4\left(2-\sqrt{2}\right) \right ]}{(x-1)(x+6)}\end{aligned}

Pemeriksaan interval/selang nilai x:

\begin{aligned}\bullet\ &{-}4\left(2+\sqrt{2}\right) < x < -6:\\&\Rightarrow \frac{\left[x+4\left(2+\sqrt{2}\right)\right]\left[x+4\left(2-\sqrt{2}\right)\right]}{(x-1)(x+6)}=\frac{(+)(-)}{(-)(-)}=(-)\\&\Rightarrow \frac{x^2+16x+32}{(x-1)(x+6)} < 0\\\bullet\ &-6 < x < {-}4\left(2-\sqrt{2}\right):\\&\Rightarrow \frac{\left[x+4\left(2+\sqrt{2}\right)\right]\left[x+4\left(2-\sqrt{2}\right)\right]}{(x-1)(x+6)}=\frac{(+)(-)}{(-)(+)}=(+)\\&\Rightarrow \frac{x^2+16x+32}{(x-1)(x+6)} > 0\end{aligned}
\begin{aligned}\bullet\ &{-}4\left(2-\sqrt{2}\right) < x < 1:\\&\Rightarrow \frac{\left[x+4\left(2+\sqrt{2}\right)\right]\left[x+4\left(2-\sqrt{2}\right)\right]}{(x-1)(x+6)}=\frac{(+)(+)}{(-)(+)}=(-)\\&\Rightarrow \frac{x^2+16x+32}{(x-1)(x+6)} < 0\\\bullet\ &x > 1:\\&\Rightarrow \frac{\left[x+4\left(2+\sqrt{2}\right)\right]\left[x+4\left(2-\sqrt{2}\right)\right]}{(x-1)(x+6)}=\frac{(+)(+)}{(+)(+)}=(+)\\&\Rightarrow \frac{x^2+16x+32}{(x-1)(x+6)} > 0\\\end{aligned}

Jadi, selang nilai x yang memenuhi adalah:

\begin{aligned}x\in\left ( {-}4\left(2+\sqrt{2}\right),\ -6 \right )\:\cup\:\left ( {-}4\left(2-\sqrt{2}\right) < x < 1 \right )\end{aligned}

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut adalah:

\begin{aligned}\left \{ x\mid{\bf{-}4\left(2+\sqrt{2}\right)} < x < {\bf{-}6}\ \:{\sf atau}\:\ {\bf{-}4\left(2-\sqrt{2}\right)} < x < \bf1\right \}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 30 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>