Jawaban:

Untuk membuktikan bahwa himpunan B adalah basis untuk R3, maka kita perlu menunjukkan dua hal, yaitu:

1. Himpunan B menghasilkan/ menghasilkan ruang R3.

2. Himpunan B adalah himpunan linear independen.

Pertama-tama, mari kita lihat apakah himpunan B menghasilkan R3. Dalam rangka untuk membuktikan bahwa B menghasilkan R3, setiap vektor dalam ruang R3 harus dapat diwakili sebagai kombinasi linear dari vektor dalam himpunan B. Mari coba untuk menghasilkan sebuah vektor acak dalam R3 sebagai kombinasi linear dari vektor dalam himpunan B:

$a(u-v) + bv + c(v+w) = (a-c)u + (a+b+2c)v + cw$

Karena u,v,w linear independen, maka vektor $(a-c)u + (a+b+2c)v + cw$ hanya sama dengan O jika koefisiennya semua nol. Oleh karena itu, kita harus menyelesaikan sistem persamaan linear:

$a - c = 0$

$a + b + 2c = 0$

$c = 0$

Solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah $a = 0$, $b = 0$, dan $c = 0$. Karena tidak ada lain cara untuk menyusun kombinasi linear yang mengakibatkan vektor nol, maka kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan B menghasilkan R3.

Selanjutnya, mari kita tinjau apakah himpunan B adalah himpunan linear independen. Dalam rangka untuk membuktikan bahwa B adalah linear independen, kita perlu menunjukkan bahwa persamaan $ax+(b+c)y+(2a+b+2c)z=0$ hanya memiliki solusi trivial, yaitu $a = b = c = 0$. Mari coba untuk menyelesaikan persamaan tersebut:

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$

Matriks koefisien di atas dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas dan kemudian menjadi matriks identitas. Oleh karena itu, satu-satunya solusi untuk sistem tersebut adalah $a = b = c = 0$, dan himpunan B adalah linear independen.

Karena himpunan B menghasilkan R3 dan juga linear independen, maka himpunan B adalah basis untuk R3.