1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Selesaikan sistem persamaan linier tiga variabel menggunakan metode cremer 2xy +

Berikut ini adalah pertanyaan dari gugumrizlananda pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Selesaikan sistem persamaan linier tiga variabel menggunakan metode cremer2xy + 2z = 3
x + 3y - 2z = 5
3x-2y-z = 4

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Selesaian dari SPLTV \left \{ \begin{aligned} & 2x + y + 2z = 3 \\ & x + 3y - 2z = 5 \\ & 3x - 2y - z = 4 \end{aligned} \right. dengan menggunakan metode Cramer adalah:

\boxed{\bf HP = \left \{x = \dfrac{68}{41}, y = \dfrac{31}{41}, z = - \dfrac{22}{41} \right \} }

\:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Metode Cramer merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dua variabel maupun tiga variabel. Dasar dari metode ini yaitu matriksdandeterminan. Jadi, kita harus memahami keduanya agar dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan menggunakan metode Cramer.

Diketahui:

SPLTV

\left \{ \begin{aligned} & 2x + y + 2z = 3 \\ & x + 3y - 2z = 5 \\ & 3x - 2y - z = 4 \end{aligned} \right.

Ditanyakan:

Penyelesaian SPLTV tersebut dengan menggunakan metode Cramer?

Jawab:

SPLTV tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks. Adapun bentuk matriksnya yaitu:

\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{bmatrix} ~ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}

Langkah pertama yaitu cari determinan dari matriks koefisien untuk memastikan apakah metode Cramer dapat diterapkan atau tidak. Metode Cramer dapat diterapkan atau digunakan apabila D \ne 0 . Adapun, matriks koefisien dari sistem persamaan linear ,diatas yaitu:

\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{bmatrix}

Mencari determinan dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor, diperoleh deterimanannya:

\begin{aligned} D & = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} \\ & = 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \\ & = 3(1(-2) - 2(3)) + 2(2(-2) - 2(1)) - 1(2(3) - 1(1)) \\ & = 3(-2 - 6) + 2(-4 - 2) - 1(6 - 1) \\ & = 3(-8) + 2(-6) - 1(5) \\ & = -24 + (-12) - 5 \\ & = -24 - 12 - 5 \\ & = -36 - 5 \\ \therefore ~ D & = -41 \end{aligned}

Karena D \ne 0 , maka metode Cramer dapat digunakan. Selanjutnya cari determinan lainnya:

\begin{aligned} \rightarrow ~ D_{x} & = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & -2 \\ 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} \\ & = 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} \\ & = 4(1(-2)-2(3)) - (-2)(3(-2)-2(5)) + (-1)(3(3)-1(5)) \\ & = 4(-2-6) - (-2)(-6-10) + (-1)(9-5) \\ & = 4(-8) - (-2)(-16) + (-1)(4) \\ & = -32 - 32 - 4 \\ & = -64 - 4 \\ \therefore ~ D_{x} & = -68 \end{aligned}

\begin{aligned} \rightarrow ~ D_{y} & = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 5 & -2 \\ 3 & 4 & -1 \end{vmatrix} \\ & = 3 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \\ & = 3(3(-2) - 2(5)) - 4(2(-2) - 2(1)) + (-1)(2(5) - 3(1)) \\ & = 3(-6-10) - 4(-4-2) + (-1)(10-3) \\ & = 3(-16) - 4(-6) + (-1)(7) \\ & = -48 - (-24) + (-7) \\ & = -48 + 24 - 7 \\ & = -24 - 7 \\ \therefore ~ D_{y} & = -31 \end{aligned}

\begin{aligned} \rightarrow D_{z} & = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} \\ & = 3 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1&5 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \\ & = 3(1(5) - 3(3)) - (-2)(2(5) - 3(1)) + 4(2(3) - 1(1)) \\ & = 3(5 - 9) - (-2)(10-3) + 4(6-1) \\ & = 3(-4) - (-2)(7) + 4(5) \\ & = -12 - (-14) + 20 \\ & = -12 + 14 + 20 \\ & = 2 + 20 \\ \therefore ~ D_{z} & = 22 \end{aligned}

Berdasarkan metode Cramer, kita peroleh hasil:

x = \dfrac{D_{x}}{D} = \dfrac{-68}{-41} = \dfrac{68}{41}

y = \dfrac{D_{y}}{D} = \dfrac{-31}{-41} = \dfrac{31}{41}

z = \dfrac{D_{z}}{D} = \dfrac{22}{-41} atau - \dfrac{22}{41}

Kesimpulan

Jadi, selesaian dari SPLTV SPLTV \left \{ \begin{aligned} & 2x + y + 2z = 3 \\ & x + 3y - 2z = 5 \\ & 3x - 2y - z = 4 \end{aligned} \right. dengan menggunakan metode Cramer adalah \boxed{\bf HP = \left \{x = \dfrac{68}{41}, y = \dfrac{31}{41}, z = - \dfrac{22}{41} \right \}} .

\:

Pelajari Lebih Lanjut

Detail Jawaban

Mapel: Matematika

Kelas: 11

Bab: Bab 3 - Matriks

Kode kategorisasi: 11.2.3

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh FajarKim dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 21 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>