Jawab:

15.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan nilai maksimum dari 3x+2y yang memenuhi x+y≤5, x≥0, y≥0, dan x,y∈R, kita bisa menggunakan metode Lagrange multipliers.

Dengan metode ini, kita akan mencari nilai maksimum dari fungsi f(x,y)=3x+2y dengan memenuhi persamaan g(x,y)=x+y-5=0. Kita akan mencari nilai x dan y yang memenuhi persamaan g(x,y)=0 dengan menggunakan nilai lambda sebagai variabel bantu.

Kita akan menyusun persamaan yang akan kita gunakan untuk mencari nilai maksimum dari fungsi f(x,y). Persamaan yang akan kita gunakan adalah:

∇f(x,y) = λ∇g(x,y)

Kita akan menggunakan notasi ∇f(x,y) untuk menyatakan turunan parsial dari fungsi f(x,y). Kita juga akan menggunakan notasi λ untuk menyatakan lambda.

Kita akan menyelesaikan persamaan di atas dengan cara menghitung turunan parsial dari fungsi f(x,y) dan g(x,y). Kita akan menggunakan rumus turunan parsial sebagai berikut:

∂f(x,y)/∂x = 3

∂f(x,y)/∂y = 2

∂g(x,y)/∂x = 1

∂g(x,y)/∂y = 1

Dengan menggunakan rumus turunan parsial di atas, kita bisa menyusun persamaan yang akan kita gunakan untuk mencari nilai maksimum dari fungsi f(x,y). Persamaan yang akan kita gunakan adalah:

3 = λ

2 = λ

x+y=5

Kita akan menyelesaikan persamaan di atas dengan cara menggunakan sistem persamaan linear. Kita akan menggunakan eliminasi gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas.

Setelah menyelesaikan sistem persamaan di atas, kita akan mendapatkan nilai x dan y sebagai berikut:

x = 5-y

Dengan menggunakan nilai x di atas, kita bisa menuliskan nilai maksimum dari fungsi f(x,y) sebagai berikut:

f(x,y) = 3(5-y)+2y

= 15-y+2y

= 15

Dengan demikian, nilai maksimum dari 3x+2y yang memenuhi x+y≤5, x≥0, y≥0, dan x,y∈R adalah 15.