P(x) = a₀+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ, aᵢ bilangan bulat non negatif, i =

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

P(x) = a₀+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ, aᵢ bilangan bulat non negatif, i = 1,2,3,...,n. P(x-1) bersisa 5 jika dibagi (x-2) dan P(x+1) bersisa 443 jika dibagi (x-6). P(5) = ...A. 177
B. 293
C. 74
D. 98
E. 269

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+{\dots}+a_nx^n$ , $a_i$ bilangan bulat non negatif, $i = 1,2,3,{\dots},n$ . $P(x-1)$ bersisa 5 jika dibagi $(x-2)$ dan $P(x+1)$ bersisa 443 jika dibagi $(x-6)$ .

$P(5) = \boxed{\bf177}$
 

Pembahasan

Kita ingat-ingat dulu bahwa jika sebuah polinomial $P(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa $b$ , maka $P(a) = b$ .

P(x-1) bersisa 5 jika dibagi (x-2).

Jika $u = x-1$ , maka $x-2=u-1$ , sehingga pernyataan ini ekuivalen dengan:
$P(u)$ bersisa 5 jika dibagi $(u-1)$ . Arti selanjutnya adalah $P(1) = 5$ , yang mengakibatkan:
$a_0+a_1+a_2+a_3+{\dots}=5\quad...(i)$

P(x+1) bersisa 443 jika dibagi (x-6).

Jika $v = x+1$ , maka $x-6=v-7$ , sehingga pernyataan ini ekuivalen dengan:
$P(v)$ bersisa 443 jika dibagi $(v-7)$ . Arti selanjutnya adalah $P(7) = 443$ , yang mengakibatkan:
$a_0+7a_1+49a_2+343a_3+{\dots}=443\quad...(ii)$

Kita perhatikan persamaan $(ii)$ . $a_4$ , $a_5$ , $a_6$ , dan seterusnya harus bernilai 0, karena $7^4 > 443$ . Jadi, $P(x)$ terbatas pada 4 suku, yaitu:

$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$

Kemudian, pada persamaan $(ii)$ juga, nilai yang mungkin untuk $a_3$ adalah 0 atau 1. Namun, $a_3=0$ menyebabkan kemungkinan nilai $a_0$ , $a_1$ , dan $a_2$ terlalu besar untuk memenuhi persamaan $(i)$ .

Sehingga, $a_3 = \bf1$ , dan oleh karena itu:

$\begin{aligned}&(ii):a_0+7a_1+49a_2+343=443\\&\Rightarrow a_0+7a_1+49a_2=100\quad...(iii)\end{aligned}$

Substitusi $a_3$ pada persamaan $(i)$ menghasilkan:

$\begin{aligned}&(i):\ a_0+a_1+a_2+1=5\\&\Rightarrow a_0+a_1+a_2=4\quad...(iv)\end{aligned}$

Pada persamaan $(iii)$ , nilai yang mungkin untuk $a_2$ adalah 0, 1, atau 2. Pada persamaan $(iv)$ , nilai yang mungkin untuk setiap $a_i$ adalah $0 \le a_i \le 4$ .
Dengan batasan ini, pada persamaan $(iii)$ , kita harus memilih $a_2=\bf2$ , karena $a_2\in\{0,1\}$ menyebabkan nilai $a_0$ dan $a_1$ harus lebih dari 4.

Sehingga,

$\begin{aligned}&(iii):a_0+7a_1+49\cdot2=100\\&\Rightarrow a_0+7a_1+98=100\\&\Rightarrow a_0+7a_1=2\end{aligned}$

Karena setiap $a_i$ merupakan bilangan bulat non negatif, maka $a_1 = \bf0$ , dan $a_0=\bf2$ .

Pemeriksaan:

$\begin{aligned}&(a_0=2,a_1=0,a_2=2,a_3=1)\\(i):\ &a_0+a_1+a_2+a_3=5\\\Rightarrow\ &2+0+2+1=5\ \Rightarrow \sf benar.\\(ii):\ &a_0+7a_1+49a_2+343a_3=443\\\Rightarrow\ &2+0+98+343=443\ \Rightarrow \sf benar.\\\end{aligned}$