1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

● QUIZDari matriks tersebut tentukan determinan matriks A menggunakan ekspansi

Berikut ini adalah pertanyaan dari SriPujiyantoMSi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

● QUIZDari matriks tersebut tentukan determinan matriks A menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang
a. Baris kedua
b. Kolom pertama​
● QUIZDari matriks tersebut tentukan determinan matriks A menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang a. Baris keduab. Kolom pertama​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Determinan matriks A = 152.
Hasil tersebut diperoleh dengan dua cara, yaitu metode ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua, dan sepanjang kolom pertama, seperti ditunjukkan pada penjelasan di bawah ini.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui
Matriks:
A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 3 \\6 & 7 & -1 \\-3 & 1 & 4\end{bmatrix}

Ditanyakan
Determinan matriks A dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang:
a. Baris kedua
b. Kolom pertama

Penyelesaian

Misalkan bdankmasing-masing menyatakan nomor baris dan kolom dari elemen sebuah matriks persegi berordon\times n, maka determinan dari matriks A dengan metode ekspansi kofaktor dirumuskan oleh:

\begin{aligned}\bullet\ &\textsf{Ekspansi sepanjang baris $b$}:\\&\det(A)=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{(b+k)}\,a_{b,k}\,M_{b,k}\\\bullet\ &\textsf{Ekspansi sepanjang baris $k$}:\\&\det(A)=\sum_{b=1}^{n}\left(-1\right)^{(b+k)}\,a_{b,k}\,M_{b,k}\\\end{aligned}

  • a_{b,k}menyatakan elemen matriksApada barisbkolomk.
  • M_{b,k}menyatakanminordari matriksApada barisbkolomk, yang merupakan determinan dari matriks (n-1)\times(n-1)yang terdiri dari semuaa_{i,j}di manai\neq bdanj\neq k.
  • \left(-1\right)^{(b+k)}M_{b,k}disebut sebagaikofaktormatriks A pada barisbkolomk.

Khusus untuk matriks berordo 3×3, konstanta pengali \left(-1\right)^{(b+k)} dapat dinyatakan oleh:

\begin{vmatrix}+&-&+\\ -&+&-\\ +&-&+\end{vmatrix}

sehingga determinan dari matriks

A&=\begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{bmatrix}

menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua dapat dinyatakan oleh:

\det(A)&=-d\begin{vmatrix}b&c\\h&i\end{vmatrix}+e\begin{vmatrix}a&c\\g&i\end{vmatrix}-f\begin{vmatrix}a&b\\g&h\end{vmatrix}

dan sepanjang kolom pertama dinyatakan oleh:

\det(A)&=a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-d\begin{vmatrix}b&c\\h&i\end{vmatrix}+g\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}

a. Ekspansi sepanjang baris kedua

\begin{aligned}A&=\begin{bmatrix}1 & -2 & 3 \\\bf6 & \bf7 & \bf{-}1 \\-3 & 1 & 4\end{bmatrix}\\\det(A)&=-6\begin{vmatrix}-2&3\\1&4 \end{vmatrix}+7\begin{vmatrix}1&3\\-3&4 \end{vmatrix}-(-1)\begin{vmatrix}1&-2\\-3&1 \end{vmatrix}\\&=-6(-8-3)+7(4+9)+(1-6)\\&=66+91-5\\\det(A)&=\boxed{\,\bf152\,}\end{aligned}
\blacksquare

b. Ekspansi sepanjang kolom pertama

\begin{aligned}A&=\begin{bmatrix}\bf1 & -2 & 3 \\\bf6 & 7 & {-}1 \\\bf-3 & 1 & 4\end{bmatrix}\\\det(A)&=1\begin{vmatrix}7&-1\\1&4 \end{vmatrix}-6\begin{vmatrix}-2&3\\1&4 \end{vmatrix}+(-3)\begin{vmatrix}-2&3\\7&-1 \end{vmatrix}\\&=(28+1)-6(-8-3)-3(2-21)\\&=29+66+57\\\det(A)&=\boxed{\,\bf152\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 30 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>