Dari soal diatas setelah dilakukan perhitungan maka didapat hasil sebagai berikut:

• Karena fungsi f kontinu dan monoton naik di selang [-∞,-1] dan monoton turun di selang [-1,1], dan monoton naik di selang [1,∞), maka himpunan daerah hasil fungsi f adalah: image(f) = {y ∈ R : -3/5 ≤ y ≤ 3/5}

• Oleh karena itu, tidak ada dua nilai pada himpunan domain yang memetakan ke nilai yang sama pada himpunan kodomain. Dengan demikian, fungsi f merupakan fungsi injektif.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan himpunan daerah hasil atau image dari fungsi f, pertama-tama perlu dicari nilai minimum dan maksimum fungsi tersebut.

Untuk itu, kita dapat mengambil turunan pertama dari fungsi f dan mencari titik-titik stasioner:

• f(x) = 3x/(x^2 + 1)
• f'(x) = [3(x^2 + 1) - 6x^2]/(x^2 + 1)^2
• f'(x) = (3 - 3x^2)/(x^2 + 1)^2

Titik-titik stasioner diperoleh dengan mencari akar persamaan f'(x) = 0:

• 3 - 3x^2 = 0
• x^2 = 1
• x = ±1

Kedua titik tersebut merupakan kandidat nilai minimum atau maksimum fungsi f. Untuk menentukan apakah kandidat tersebut benar-benar merupakan nilai minimum atau maksimum, kita perlu memeriksa tanda turunan kedua fungsi f di sekitar titik tersebut:

• f''(x) = (2x(9x^2 - 3))/(x^2 + 1)^3

Untuk x = -1, f''(-1) = 12/25 > 0, sehingga titik tersebut merupakan nilai minimum lokal fungsi f. Sedangkan untuk x = 1, f''(1) = -12/25 < 0, sehingga titik tersebut merupakan nilai maksimum lokal fungsi f.

Dengan demikian, nilai minimum fungsi f adalah f(-1) = -3/5, sedangkan nilai maksimum fungsi f adalah f(1) = 3/5.

Karena fungsi f kontinu dan monoton naik di selang [-∞,-1] dan monoton turun di selang [-1,1], dan monoton naik di selang [1,∞), maka himpunan daerah hasil fungsi f adalah:

image(f) = {y ∈ R : -3/5 ≤ y ≤ 3/5}

Untuk menentukan apakah fungsi f tersebut injektif dan/atau surjektif, kita perlu memeriksa definisi kedua konsep tersebut.

• Fungsi f dikatakan injektif jika setiap nilai pada himpunan domain (R) dipetakan ke nilai yang berbeda pada himpunan kodomain (R). Dengan kata lain, tidak ada dua nilai pada himpunan domain yang memetakan ke nilai yang sama pada himpunan kodomain.
• Untuk memeriksa apakah fungsi f tersebut injektif, kita dapat menggunakan metode uji monotonitas. Dari turunan pertama yang telah dihitung sebelumnya, kita dapat melihat bahwa fungsi f monoton naik di selang (-∞,0) dan monoton turun di selang (0,∞).

Oleh karena itu, tidak ada dua nilai pada himpunan domain yang memetakan ke nilai yang sama pada himpunan kodomain. Dengan demikian, fungsi f merupakan fungsi injektif.

Pelajari Lebih lanjut

Pelajari lebih lanjut materi tentang Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi yomemimo.com/tugas/9108

#BelajarBersamaBrainly#SPJ1