Jawab:

Pertama-tama, kita perlu mencari titik-titik potong antara kurva y = 9 - x^2 dan y = x + 7. Kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan mengatur kedua kurva sama-sama:

9 - x^2 = x + 7

x^2 + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

Maka titik potongnya adalah x = -2 dan x = 1. Oleh karena itu, untuk menghitung volume benda putar, kita harus membagi wilayah di antara kurva menjadi dua bagian: dari x = -2 hingga x = 1 dan dari x = 1 hingga x = 3.

Sekarang, kita dapat menggunakan rumus untuk menghitung volume benda putar. Jika benda tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar adalah:

V = ∫(a,b) πy^2 dx

Untuk daerah antara kurva dari x = -2 hingga x = 1, kita dapat menuliskan rumusnya sebagai:

V1 = ∫(-2,1) π(9 - x^2)^2 dx

Kita dapat menyelesaikan integral ini dengan substitusi u = 9 - x^2, sehingga du/dx = -2x dan dx = -du/(2x). Kita juga harus mengubah batas integrasi:

x = -2 → u = 9 - (-2)^2 = 5

x = 1 → u = 9 - 1^2 = 8

Maka, kita dapat menuliskan integral tersebut sebagai:

V1 = ∫(5,8) πu^2 * (-du/(2x)) = -π/2 ∫(5,8) u^2/ x du

= -π/2 ∫(5,8) u^2/(9 - u) du

Kita dapat menyelesaikan integral ini dengan menggunakan metode pecahan parsial. Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan:

V1 = (784π - 500π)/6 = 94π/3

Untuk daerah antara kurva dari x = 1 hingga x = 3, kita dapat menuliskan rumusnya sebagai:

V2 = ∫(1,3) π(x + 7)^2 dx

Kita dapat menyelesaikan integral ini dengan mengkuadratkan persamaan dan menggunakan rumus integral:

V2 = π/3 [(x + 7)^3]1,3

= 200π/3

Akhirnya, volume total benda putar tersebut adalah:

V = V1 + V2 = 94π/3 + 200π/3 = 294π/3 = 98π

Jadi, volume benda putar yang terbentuk karena daerah dibatasi y = 9 – x2 dan y = x + 7 diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah 98π.