Berikut ini adalah pertanyaan dari pikapermata30 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas
Jawaban dan Penjelasan
Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.
Jawab:
y = 0 atau y = 4/3 x
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Persamaan lingkaran nya
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 4)² + (y - 2)² = 4
Panjang AB adalah
AB > r. Titik (0, 0) di luar lingkaran.
Cara cepat
Persamaan garis singgung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² yang melalui titik (x₁, y₁) di luar lingkaran adalah y - y₁ = m(x - x₁) dengan m = {(x₁ - a)(y₁ - b) ± r√[(x₁ - a)² + (y₁ - b)² - r²]} / [(x₁ - a)² - r²]
Persamaan nya
Cara kedua
Ubah persamaan y - y₁ = m(x - x₁) ke Ax + By + C = 0. Jarak terdekat pusat lingkaran ke garis singgung adalah r = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)
Persamaan nya
Cara ketiga
Samakan persamaan y - y₁ = m(x - x₁) dengan persamaan garis singgung linhkaran bergradien m. Untuk lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² persamaan nya y - b = m(x - a) ± r√(m² + 1)
y - y₁ = m(x - x₁) → y = mx - mx₁ + y₁
Persamaan nya
Cara keempat
(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²
(0 - 4)(x - 4) + (0 - 2)(y - 2) = 4
-4x + 16 - 2y + 4 = 4
-4x - 2y + 16 = 0
2x + y - 8 = 0 → y = -2x + 8 = -2(x - 4)
Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran
(x - 4)² + (y - 2)² = 4
(x - 4)² + (-2x + 6)² = 4
x² - 8x + 16 + 4x² - 24x + 36 - 4 = 0
5x² - 32x + 48 = 0
(5x - 12)(x - 4) = 0
x₂ = 12/5 atau x₃ = 4
Substitusi ke y = -2(x - 4) menghasilkan y₂ = 16/5 dan y₃ = 0
Titik singgung nya (12/5, 16/5) dan (4, 0)
Persamaan nya
(x₂ - a)(x - a) + (y₂ - b)(y - b) = r²
(12/5 - 4)(x - 4) + (16/5 - 2)(y - 2) = 4
-8/5 x + 32/5 + 6/5 y - 12/5 = 4
-8x + 32 + 6y - 12 = 20
-8x + 6y = 0
4x - 3y = 0
y = 4/3 x
atau
(x₃ - a)(x - a) + (y₃ - b)(y - b) = r²
(4 - 4)(x - 4) + (0 - 2)(y - 2) = 4
0 - 2y + 4 = 4
-2y = 0
y = 0
Cara kelima
y = mx - mx₁ + y₁
y = mx - m(0) + 0 = mx
Substitusi ke persamaan lingkaran
(x - 4)² + (y - 2)² = 4
(x - 4)² + (mx - 2)² = 4
x² - 8x + 16 + m²x² - 4mx + 4 - 4 = 0
(m² + 1)x² + (-4m - 8)x + 16 = 0
D = 0
(-4m - 8)² - 4(m² + 1)(16) = 0
16m² + 64m + 64 - 64m² - 64 = 0
-48m² + 64m = 0
3m² - 4m = 0
(3m - 4)m = 0
m₁ = 4/3 atau m₂ = 0
Persamaan nya
![Jawab:y = 0 atau y = 4/3 xPenjelasan dengan langkah-langkah:Persamaan lingkaran nya(x - a)² + (y - b)² = r²(x - 4)² + (y - 2)² = 4Panjang AB adalah [tex]\displaystyle AB=\sqrt{(a-0)^2+(b-0)^2}\\=\sqrt{(4-0)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{5}[/tex]AB > r. Titik (0, 0) di luar lingkaran.Cara cepatPersamaan garis singgung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² yang melalui titik (x₁, y₁) di luar lingkaran adalah y - y₁ = m(x - x₁) dengan m = {(x₁ - a)(y₁ - b) ± r√[(x₁ - a)² + (y₁ - b)² - r²]} / [(x₁ - a)² - r²][tex]\displaystyle m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}\\=\frac{(0-4)(0-2)\pm 2\sqrt{(0-4)^2+(0-2)^2-4}}{(0-4)^2-4}\\=\frac{8\pm8}{12}\\m_1=\frac{4}{3}~\textrm{atau}~m2=0[/tex]Persamaan nya[tex]\displaystyle \begin{matrix}y-y_1=m_1(x-x_1) & y-y_1=m_2(x-x_2)\\ y-0=\frac{4}{3}(x-0) & y-0=0(x-0)\\ y=\frac{4}{3}x & y=0\end{matrix}[/tex]Cara keduaUbah persamaan y - y₁ = m(x - x₁) ke Ax + By + C = 0. Jarak terdekat pusat lingkaran ke garis singgung adalah r = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)[tex]\displaystyle r=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\2=\frac{|m(4)-1(2)+y_1-mx_1|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}\\4=\frac{(4m-2+0-0m)^2}{m^2+1}\\4(m^2+1)=16m^2-16m+4\\16m^2-16m+4-4m^2-4=0\\12m^2-16m=0\\(3m-4)m=0\\m_1=\frac{4}{3}~\textrm{atau}~m_2=0[/tex]Persamaan nya[tex]\displaystyle \begin{matrix}y-y_1=m_1(x-x_1) & y-y_1=m_2(x-x_2)\\ y-0=\frac{4}{3}(x-0) & y-0=0(x-0)\\ y=\frac{4}{3}x & y=0\end{matrix}[/tex]Cara ketigaSamakan persamaan y - y₁ = m(x - x₁) dengan persamaan garis singgung linhkaran bergradien m. Untuk lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² persamaan nya y - b = m(x - a) ± r√(m² + 1)y - y₁ = m(x - x₁) → y = mx - mx₁ + y₁[tex]\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}\\y=mx-ma\pm r\sqrt{m^2+1}+b\\mx-mx_1+y_1=mx-ma\pm r\sqrt{m^2+1}+b\\y_1-mx_1+ma-b=\pm r\sqrt{m^2+1}\\0-m(0)+m(4)-2=\pm 2\sqrt{m^2+1}\\2(2m-1)=\pm 2\sqrt{m^2+1}\\4m^2-4m+1=m^2+1\\3m^2-4m=0\\(3m-4)m=0\\m_1=\frac{4}{3}~\textrm{atau}~m_2=0[/tex]Persamaan nya[tex]\displaystyle \begin{matrix}y-y_1=m_1(x-x_1) & y-y_1=m_2(x-x_2)\\ y-0=\frac{4}{3}(x-0) & y-0=0(x-0)\\ y=\frac{4}{3}x & y=0\end{matrix}[/tex]Cara keempat(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²(0 - 4)(x - 4) + (0 - 2)(y - 2) = 4-4x + 16 - 2y + 4 = 4-4x - 2y + 16 = 02x + y - 8 = 0 → y = -2x + 8 = -2(x - 4)Substitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran(x - 4)² + (y - 2)² = 4(x - 4)² + (-2x + 6)² = 4x² - 8x + 16 + 4x² - 24x + 36 - 4 = 05x² - 32x + 48 = 0(5x - 12)(x - 4) = 0x₂ = 12/5 atau x₃ = 4Substitusi ke y = -2(x - 4) menghasilkan y₂ = 16/5 dan y₃ = 0Titik singgung nya (12/5, 16/5) dan (4, 0)Persamaan nya(x₂ - a)(x - a) + (y₂ - b)(y - b) = r²(12/5 - 4)(x - 4) + (16/5 - 2)(y - 2) = 4-8/5 x + 32/5 + 6/5 y - 12/5 = 4-8x + 32 + 6y - 12 = 20-8x + 6y = 04x - 3y = 0y = 4/3 xatau(x₃ - a)(x - a) + (y₃ - b)(y - b) = r²(4 - 4)(x - 4) + (0 - 2)(y - 2) = 40 - 2y + 4 = 4-2y = 0y = 0Cara kelima y = mx - mx₁ + y₁y = mx - m(0) + 0 = mxSubstitusi ke persamaan lingkaran(x - 4)² + (y - 2)² = 4(x - 4)² + (mx - 2)² = 4x² - 8x + 16 + m²x² - 4mx + 4 - 4 = 0(m² + 1)x² + (-4m - 8)x + 16 = 0D = 0(-4m - 8)² - 4(m² + 1)(16) = 016m² + 64m + 64 - 64m² - 64 = 0-48m² + 64m = 03m² - 4m = 0(3m - 4)m = 0m₁ = 4/3 atau m₂ = 0Persamaan nya[tex]\displaystyle \begin{matrix}y-y_1=m_1(x-x_1) & y-y_1=m_2(x-x_2)\\ y-0=\frac{4}{3}(x-0) & y-0=0(x-0)\\ y=\frac{4}{3}x & y=0\end{matrix}[/tex]](https://id-static.z-dn.net/files/d8e/2c485ef2500d8eb22497fb8bebbb3a0b.jpg)
Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh syakhayaz dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.
Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact
Last Update: Mon, 13 Feb 23