Jawaban:

a. Untuk menentukan peluang mesin rusak pada waktu t, kita perlu mempertimbangkan waktu perbaikan dan usia pakai mesin. Jika ekspektasi usia pakai mesin adalah 15 hari dan ekspektasi waktu perbaikan adalah 2 hari, maka mesin akan rusak setelah 15 hari dan diperbaiki dalam waktu 2 hari. Setelah perbaikan, mesin kembali berfungsi dengan baik.

Dalam rentang waktu 15 hari pertama, mesin tidak mengalami kerusakan karena mesin baru. Oleh karena itu, peluang mesin rusak pada waktu t kurang dari atau sama dengan 15 adalah 0.

Untuk rentang waktu 15 < t ≤ 17 (setelah 15 hari usia pakai dan selama 2 hari perbaikan), mesin akan rusak karena sedang dalam proses perbaikan. Oleh karena itu, peluang mesin rusak pada waktu t adalah 1.

Untuk rentang waktu t > 17, mesin akan berfungsi dengan baik setelah perbaikan dan memiliki ekspektasi usia pakai 15 hari sebelum rusak. Oleh karena itu, peluang mesin rusak pada waktu t lebih dari 17 adalah 0.

Jadi, peluang mesin rusak pada waktu t adalah:

P(X(t) = 1) =

0, untuk t ≤ 15

1, untuk 15 < t ≤ 17

0, untuk t > 17

b. Untuk menentukan ekspektasi banyak hari mesin rusak dalam rentang 100 hari pertama, kita perlu mempertimbangkan periode usia pakai mesin sebelum perbaikan.

Dalam periode usia pakai 15 hari pertama, mesin tidak rusak karena masih baru. Oleh karena itu, dalam 100 hari pertama, mesin akan rusak selama 15 hari.

Namun, dalam 100 hari pertama, mesin akan rusak lagi pada hari ke-16 karena usia pakainya telah mencapai 15 hari. Setelah itu, mesin akan diperbaiki dalam waktu 2 hari dan kembali berfungsi selama 15 hari sebelum rusak lagi.

Jadi, dalam rentang 100 hari pertama, mesin akan rusak selama 15 hari awal, kemudian rusak lagi pada hari ke-16, dan seterusnya secara berulang. Oleh karena itu, ekspektasi banyak hari mesin rusak dalam rentang 100 hari pertama adalah:

15 + (100 - 15) % 15 = 15 + 10 = 25 hari

Jadi, ekspektasi banyak hari mesin rusak dalam rentang 100 hari pertama adalah 25 hari.