QUIZ (1360)Materi: FungsiFungsi f mempunyai invers dan grafiknya berupa garis

Berikut ini adalah pertanyaan dari AdhidMGL pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

QUIZ (1360)Materi: Fungsi

Fungsi f mempunyai invers dan grafiknya berupa garis lurus. Jika $f(2x)+f^{-1}(x)=3x-1$ , maka berapakah nilai dari $f^{-1}(3)$ ?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari $f^{-1}(3)$ adalah4.

PEMBAHASAN

Fungsi merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (domain) kepada anggota himpunan yang lain (kodomain). Fungsi biasanya dituliskan sebagai berikut :

$f:~P\to Q$

Yang artinya adalah fungsi f memetakan anggota himpunan P ke himpunan Q.

Suatu fungsi juga biasa ditulis sebagai y = f(x). Dimana untuk x = a, nilai dari y yang memenuhi adalah f(a). Bisa ditulis juga sebagai (x,y) = (a, f(a)).

Setiap fungsi memiliki fungsi kebalikan atau fungsi invers. Fungsi invers ditulis sebagai berikut :

$f(x)=y~\to~x=f^{-1}(y)$

Contoh-contoh fungsi invers :

$\displaystyle{f(x)=x~\to~f^{-1}(x)=\frac{1}{x}}$

$\displaystyle{f(x)=x+a~\to~f^{-1}(x)=x-a}$

$\displaystyle{f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}~\to~f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}}$

DIKETAHUI

f(x) = fungsi berupa garis lurus

$f(2x)+f^{-1}(x)=3x-1$

DITANYA

Tentukan nilai dari $f^{-1}(3)$

PENYELESAIAN

Karena f(x) berupa garis lurus maka f(x) adalah fungsi linear. Misal :

$f(x)=ax+b$

Untuk fungsi f(2x) :

$f(2x)=a(2x)+b$

$f(2x)=2ax+b$

Untuk fungsi $f^{-1}(x)$ :

Misal :

$y=ax+b$

$ax=y-b$

$\displaystyle{x=\frac{y-b}{a} }$

Substitusi y = x :

$\displaystyle{y=\frac{x-b}{a} }$

$\displaystyle{f^{-1}(x)=y=\frac{x-b}{a} }$

Substitusi ke persamaan awal :

$f(2x)+f^{-1}(x)=3x-1$

$\displaystyle{2ax+b+\frac{x-b}{a}=3x-1 }$

$\displaystyle{2ax+\frac{x}{a}+b-\frac{b}{a}=3x-1 }$

$\displaystyle{\left ( 2a+\frac{1}{a} \right )x+\left ( b-\frac{b}{a} \right )=3x-1 }$

Dengan menyamakan koefisien di kedua ruas :

$\displaystyle{2a+\frac{1}{a}=3 }$

$\displaystyle{\frac{2a^2+1}{a}=3~~~...kali~silang }$

$\displaystyle{2a^2+1=3a }$

$\displaystyle{2a^2-3a+1=0 }$

$\displaystyle{(2a-1)(a-1)=0 }$

$\displaystyle{a=\frac{1}{2}~atau~a=1 }$

$\displaystyle{b-\frac{b}{a}=-1 }$

Untuk $\displaystyle{a=\frac{1}{2}}$ :

$\displaystyle{b-\frac{b}{\frac{1}{2}}=-1 }$

$\displaystyle{b-2b=-1 }$

$\displaystyle{-b=-1 }$

$\displaystyle{b=1 }$

Untuk a = 1 :

$\displaystyle{b-\frac{b}{1}=-1 }$

$\displaystyle{b-b=-1 }$

$\displaystyle{0\neq -1~~(tidak~memenuhi) }$

Diperoleh $\displaystyle{a=\frac{1}{2} }$ dan b = 1. Maka :

$\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a} }$

$\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x-1}{\frac{1}{2}} }$

$\displaystyle{f^{-1}(x)=2(x-1) }$

$\displaystyle{f^{-1}(3)=2(3-1) }$

$\displaystyle{f^{-1}(3)=4 }$

KESIMPULAN

Nilai dari $f^{-1}(3)$ adalah4.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Mencari nilai fungsi : yomemimo.com/tugas/29586038
Mencari nilai fungsi : yomemimo.com/tugas/29379563
Mencari fungsi invers : yomemimo.com/tugas/30132672

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Fungsi

Kode Kategorisasi: 10.2.3

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 25 Jul 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah