1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Fungsi f dan g dinyatakan dengan f(x) = √x² +

Berikut ini adalah pertanyaan dari jejeltc pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Fungsi f dan g dinyatakan dengan f(x) = √x² + 5x + 4 dan g(x) = √x² - 2x - 3. Tentukan daerahasal (f/g)(x)!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Fungsi f dan g dinyatakan dengan f(x) = √(x² + 5x + 4) dan g(x) = √(x² – 2x – 3). Daerah asal (f/g)(x) adalah:
\begin{aligned}&\boxed{\vphantom{\Big|}\,D_{(f/g)}=\left \{ x\mid x \le -4\ \,{\sf atau}\ \,x > 3,\ x\in\mathbb{R} \right \}\,}\end{aligned}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Daerah Asal Fungsi

CARA PERTAMA

Fungsi f(x) dan g(x) sama-sama berbentuk akar kuadrat.

Daerah asal f(x)

x² + 5x + 4 ≥ 0
⇒ (x + 1)(x + 4) ≥ 0
⇒ x ≤ –4 atau x ≥ –1

Jika masih belum paham menentukan interval tersebut, kita telusuri saja.

Titik kritis (x + 1)(x + 4) ≥ 0 adalah:

  • x + 1 = 0 ⇒ x = –1
  • x + 4 = 0 ⇒ x = –4

Periksa interval:

  • x ≤ –4:
    (x + 1)(x + 4) = (–)(– atau 0) = (+ atau 0).
    ⇒ Memenuhi (x + 1)(x + 4) ≥ 0
  • –4 < x < –1:
    (x + 1)(x + 4) = (–)(+) = (–)
    ⇒ Tidak memenuhi (x + 1)(x + 4) ≥ 0
  • x ≥ –1:
    (x + 1)(x + 4) = (+ atau 0)(+) = (+ atau 0).
    ⇒ Memenuhi (x + 1)(x + 4) ≥ 0

Maka, interval x yang memenuhi x² + 5x + 4 ≥ 0 adalah:
x ≤ –4 atau x ≥ –1

Daerah asal g(x)

x² – 2x – 3 ≥ 0
⇒ (x + 1)(x – 3) ≥ 0
⇒ x ≤ –1 atau x ≥ 3.

Maka, interval x yang memenuhi x² – 2x – 3 ≥ 0 adalah:
x ≤ –1 atau x ≥ 3.

Daerah asal (f/g)(x)

Perhatikan bahwa (f/g)(x) = f(x) / g(x), sehingga jika g(x) = 0, maka (f/g)(x) tak terdefinisi.

Daerah asal dari (f/g)(x) adalah irisan dari daerah asal f(x) dan daerah asal dari g(x), dengan g(x) ≠ 0.

Dari interval yang diperoleh di atas, daerah asal dari g(x) di mana g(x) ≠ 0 adalah x < –1 atau x > 3 (pertidaksamaan tidak memuat “sama dengan”).

  • Batas f(x) di sebelah kiri: x ≤ –4.
    Batas g(x) di sebelah kiri: x < –1
    ⇒ Irisan: x ≤ –4
  • Batas f(x) di sebelah kanan: x ≥ 1
    Batas g(x) di sebelah kanan: x > 3
    ⇒ Irisan: x > 3.

∴ Dengan demikain, daerah asal dari (f/g)(x) adalah:
\begin{aligned}&D_{(f/g)}=\left \{ x\mid x \le -4\ \,{\sf atau}\ \,x > 3,\ x\in\mathbb{R} \right \}\end{aligned}
\blacksquare

CARA KEDUA

Memperhatikan bentuk fungsi kuadrat di dalam akar kuadrat dari f(x) dan g(x), dengan aljabar, dapat kita peroleh:

\begin{aligned}(f/g)(x)&=\frac{f(x)}{g(x)}\\&=\frac{\sqrt{x^2+5x+4}}{\sqrt{x^2-2x-3}}\\&=\sqrt{\frac{x^2+5x+4}{x^2-2x-3}}\\&=\frac{\sqrt{\cancel{(x+1)}(x+4)}}{\sqrt{\cancel{(x+1)}(x-3)}}\\(f/g)(x)&=\frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{x-3}}=\sqrt{\frac{x+4}{x-3}}\\\end{aligned}

Titik kritis: x = –4, x = 3.

Periksa interval

  • x ≤ –4:
    ⇒ √[ (– atau 0)/(–) ] = √(+ atau 0) = (+ atau 0)
    ⇒ memenuhi.
  • –4 < x < 3
    ⇒ √[ (+)/(–) ] = √(–)
    ⇒ tak terdefinisi untuk x ∈ ℝ.
  • x = 3: penyebut = 0
    ⇒ pembagian dengan 0 tak terdefinisi.
  • x > 3:
    ⇒ √[ (+)/(+) = √(+)
    ⇒ memenuhi.

∴ Dengan demikain, daerah asal dari (f/g)(x) adalah:
\begin{aligned}&D_{(f/g)}=\left \{ x\mid x \le -4\ \,{\sf atau}\ \,x > 3,\ x\in\mathbb{R} \right \}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 28 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>