1/x³ - 1/(x + 1)³ = 7/8

jawab :

1/x³ - 1/(x + 1)³ = 7/8

1³/x³ - 1³/(x + 1)³ = 7/8

(1/x)³ - (1/x + 1)³ = 7/8

misalkan..

a = 1/x

x = 1/a (persamaan 1)

b = 1/(x + 1)

1/b = x + 1

1/b - 1 = x (persamaan 2)

x = x

1/b - 1 = 1/a

1/b - 1/a = 1

(a - b) / ab = 1

a - b = ab (persamaan 3)

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

nilai a³ - b³ sudah diketahui, nilai a - b sudah diketahui, sekarang cari nilai a² + b²

dari persamaan 3, kuadratkan kedua ruas..

a - b = ab

(a - b)² = (ab)²

a² + b² - 2ab = (ab)²

a² + b² = (ab)² + 2ab

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

(ab) ((ab)² + 2ab + ab) = 7/8

(ab) ((ab)² + 3ab) = 7/8

misalkan..

ab = u

u(u² + 3u) = 7/8

u³ + 3u² = 7/8

8(u³ + 3u²) = 7

8u³ + 24u² - 7 = 0

(2u)³ + 6(2u)² - 7 = 0

misalkan..

2u = k

(2u)³ + 6(2u)² - 7 = 0

k³ + 6k² - 7 = 0

kita coba - coba saja masukkan nilai k..

jika k = 1

1³ + 6(1)² - 7 = 0

1 + 6 - 7 = 0

0 = 0

berarti k = 1 merupakan salah satu solusinya.. sekarang dibagi dengan (k - 1) untuk mendapatkan faktor yang lain..

k³ + 6k² - 7

(k³ + 6k² - 7) / (k - 1)

k² + 7k + 7

faktor yang lainnya adalah k² + 7k + 7

(k - 1) (k² + 7k + 7) = 0

k - 1 = 0

k1 = 1

k² + 7k + 7 = 0

k = -b ± √b² - 4ac / 2a

k = -7 ± √7² - 4(1)(7) / 2(1)

k = -7 ± √49 - 28 / 2

k = -7 ± √21 / 2

k2 = -7 + √21 / 2

k3 = -7 ± - √21 / 2

solusi k2 dan k3 bernilai negatif, karena itu, nilai k yang memenuhi hanya k = 1

sekarang, cari nilai u..

2u = k

2u = k

2u = 1

u = 1/2

cari nilai a dan b..

ab = u

ab = 1/2

dari permisalan yang awal :

a = 1/x

b = 1/(x + 1)

ab = 1/x . 1/(x + 1)

1/2 = 1/(x² + x)

1 = 2/(x² + x)

x² + x = 2

x² + x - 2 = 0

x = -b ± √b² - 4ac / 2a

x = -1 ± √1² - 4(1)(-2) / 2(1)

x = -1 ± √1 + 8 / 2

x = -1 ± √9 / 2

x = -1 ± 3 / 2

x1 = -1 + 3 / 2

x1 = 2/2

x1 = 1

x2 = -1 - 3 / 2

x2 = -4/2

x2 = -2

maka, nilai x adalah 1 dan -2