1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

● QUIZCari nilai maksimum dan minimum (jika ada) dari f(x)

Berikut ini adalah pertanyaan dari SriPujiyantoMSi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

● QUIZ
Cari nilai maksimum dan minimum (jika ada) dari f(x) = x^2 + 1/x^2 pada selang x>0!​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Pada selang x > 0, nilai minimum f(x) = x² + 1/(x²)adalah2, yaitu pada titik (1, 2).
Fungsi f(x) tidak memiliki nilai maksimum.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

\begin{aligned}f(x)&=x^2+\frac{1}{x^2}\end{aligned}

Fungsi f(x)mencapai nilai maksimum atau minimum padatitik-titik kritis, yaitu:

  • titik-titik batas daerah asal f(x), atau
  • titik-titik stasioner di mana f'(x) = 0, atau
  • titik-titik singular di mana f(x) tidak mempunyai turunan, atau f'(x) tak terdefinisi.

Asimtot tegakdarif(x)adalahx = 0, dan selang yang diperiksa adalah x > 0. Karena jelas f(x)tak terdefinisi padax = 0, dan 0 \not\in \{x\mid x > 0\}, maka tidak ada titik kritis pada batas domain f(x).

Titik stasionerdiperoleh pada saatf'(x) = 0.

\begin{aligned}0&=f'(x)\\&=\left ( x^2+\frac{1}{x^2} \right )'\\&=\left ( x^2+x^{-2} \right )'\\&=2x-2x^{-3}\\&=2\left(x-x^{-3}\right)\ \Leftarrow f'(x)\\0&=2\left(x-\frac{1}{x^3}\right)\\0&=x-\frac{1}{x^3}=\frac{x^4-1}{x^3}\\0&=x^4-1\,,\ \ x\ne0\\0&=(x^2-1)(x^2+1)\\0&=(x+1)(x-1)(x^2+1)\\&x=-1{\sf\ \:atau\:\ }x=1{\sf\ \:atau\:\ }x=\pm\,i\\\therefore\ &x={\bf1}\,,\ {\sf untuk\ }x > 0,\ x\in\mathbb{R}\end{aligned}

Jenis nilai stasioner:

\begin{aligned}f''(x)&=\left(f'(x)\right)'\\&=\left(2\left(x-x^{-3}\right)\right)'\\&=2\left(x-x^{-3}\right)'\\f''(x)&=2\left(1+3x^{-4}\right)\\(x=1):\\f''(1)&=2\left(1+3\cdot1^{-4}\right)\\&=2(4)\\\therefore\ f''(1)&={\bf8}\ > \ 0\end{aligned}

Karena f''(1) > 0, maka f(1)adalahnilai minimum.

\begin{aligned}f_{min}(x|x > 0)&=f(1)\\&=1^2+\frac{1}{1^2}\\\therefore\ f_{min}(x|x > 0)&=\boxed{\bf2}\end{aligned}

Untuk titik singular, pada selang x > 0, f(x) tidak memiliki titik singular, karena nilai xyang membuatf'(x)tak terdefinisi adalahx = 0, sedangkan selang 0 \not\in \{x\mid x > 0\}.

KESIMPULAN
∴  Dengan demikian, pada selang x > 0, nilai minimum f(x) = x² + 1/(x²)adalah2, pada titik (1, 2). f(x) tidak memiliki nilai maksimum.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 09 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>