1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

hitunglah integral: [tex]\int\limits {\frac{1-sinx}{1+sinx} } \, dx[/tex] jelaskan dengan caranya yaaa

Berikut ini adalah pertanyaan dari ZenthicMC18 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Hitunglah integral:\int\limits {\frac{1-sinx}{1+sinx} } \, dx

jelaskan dengan caranya yaaa

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

\displaystyle x+\frac{4}{1+\tan\frac{x}{2}}+C

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Metode substitusi Weierstraß (ß dibaca ss dalam bahasa Jerman) atau disebut metode substitusi rasio trigonometri sudut paruh tangen.

Jika \displaystyle u=\tan \frac{x}{2} maka

\displaystyle \sin x=\frac{2u}{1+u^2}\\\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}\\dx=\frac{2}{1+u^2}~du

Solusi

\begin{aligned}\int \frac{1-\sin x}{1+\sin x}~dx&\:=\int \frac{1+\sin x-2\sin x}{1+\sin x}~dx\\\:&=\int \left ( 1-\frac{2}{1+\sin x} \right )dx\\\:&=\int dx-2\int \frac{dx}{1+\sin x}\\\:&=x-2\int \frac{\frac{2du}{1+u^2}}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\\\:&=x-4\int \frac{du}{1+2u+u^2}\\\:&=x-4\int \frac{du}{(1+u)^2}\\\:&=x-4\int \frac{dv}{v^2}\\\:&=x-4\left ( -\frac{1}{v} \right )+C\\\:&=x+\frac{4}{1+\tan\frac{x}{2}}+C\end{aligned}

Lebih lanjut

\begin{aligned}\sin x&\:=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\\\:&=2\left ( \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \right )\\\:&=\frac{2u}{1+u^2}\end{aligned}

\begin{aligned}\cos x&\:=\cos^2 x-\sin^2 x\\\:&=\left ( \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \right )^2-\left ( \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \right )^2\\\:&=\frac{1-u^2}{1+u^2}\end{aligned}

\begin{aligned}u&\:=\tan\frac{x}{2}\\du\:&=\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}~dx\\du\:&=\frac{1}{2}\left ( \frac{\sqrt{1+u^2}}{1} \right )^2~dx\\du\:&=\frac{1+u^2}{2}~dx\\dx\:&=\frac{2}{1+u^2}~du\end{aligned}

Jawab:[tex]\displaystyle x+\frac{4}{1+\tan\frac{x}{2}}+C[/tex]Penjelasan dengan langkah-langkah:Metode substitusi Weierstraß (ß dibaca ss dalam bahasa Jerman) atau disebut metode substitusi rasio trigonometri sudut paruh tangen.Jika [tex]\displaystyle u=\tan \frac{x}{2}[/tex] maka[tex]\displaystyle \sin x=\frac{2u}{1+u^2}\\\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}\\dx=\frac{2}{1+u^2}~du[/tex]Solusi[tex]\begin{aligned}\int \frac{1-\sin x}{1+\sin x}~dx&\:=\int \frac{1+\sin x-2\sin x}{1+\sin x}~dx\\\:&=\int \left ( 1-\frac{2}{1+\sin x} \right )dx\\\:&=\int dx-2\int \frac{dx}{1+\sin x}\\\:&=x-2\int \frac{\frac{2du}{1+u^2}}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\\\:&=x-4\int \frac{du}{1+2u+u^2}\\\:&=x-4\int \frac{du}{(1+u)^2}\\\:&=x-4\int \frac{dv}{v^2}\\\:&=x-4\left ( -\frac{1}{v} \right )+C\\\:&=x+\frac{4}{1+\tan\frac{x}{2}}+C\end{aligned}[/tex]Lebih lanjut[tex]\begin{aligned}\sin x&\:=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\\\:&=2\left ( \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \right )\\\:&=\frac{2u}{1+u^2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\cos x&\:=\cos^2 x-\sin^2 x\\\:&=\left ( \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \right )^2-\left ( \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \right )^2\\\:&=\frac{1-u^2}{1+u^2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}u&\:=\tan\frac{x}{2}\\du\:&=\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}~dx\\du\:&=\frac{1}{2}\left ( \frac{\sqrt{1+u^2}}{1} \right )^2~dx\\du\:&=\frac{1+u^2}{2}~dx\\dx\:&=\frac{2}{1+u^2}~du\end{aligned}[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh peesbedrf dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 21 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>