Pernyataan bahwa persamaan lingkaranyang melaluititik tengah sisi-sisi segitiga ABCdengan koordinatA(a, 0), B(b, 0), C(0, c)adalah

TERBUKTI.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk ΔABC, misalkan titik tengah dari masing-masing sisi AB, BC, dan CA secara berturut-turut adalah D, E, dan F.

Maka:

• D( ½(b + a), ½(0 + 0 )
  ⇒ D( ½(a + b), 0 )
• E( ½(b + 0), ½(0 + c) )
  ⇒ E( ½b, ½c )
• F( ½(0 + a), ½(c + 0) )
  ⇒ F( ½a, ½c )

Kita gunakan bentuk umum persamaan lingkaran:
x² + y² + Ax + By + C = 0

• Dari titik D:
  ⇒ ¼(a + b)² + ½(a + b)A + C = 0   ...(1)
• Dari titik E:
  ⇒ ¼b² + ¼c² + ½bA + ½cB + C = 0   ...(2)
• Dari titik F:
  ⇒ ¼a² + ¼c² + ½aA + ½cB + C = 0   ...(3)

Persamaan (3) dikurangi persamaan (2), menghasilkan:
⇒ ¼a² – ¼b² + ½aA – ½bA  = 0
⇒ ¼(a² – b²) + ½A(a – b) = 0
⇒ ½A(a – b) = –¼(a² – b²)
⇒ ½A(a – b) = –¼(a – b)(a + b)
⇒ ½A = –¼(a + b)
⇒ A = –½(a + b)

Kemudian, substitusi nilai A pada persamaan (1).
⇒ ¼(a + b)² + ½(a + b)·[–½(a + b)] + C = 0
⇒ ¼(a + b)² – ¼(a + b)² + C = 0
⇒ 0 + C = 0
⇒ C = 0

Lalu, jumlahkan persamaan (2) dan persamaan (3), sekaligus substitusi nilai C dengan 0, menghasilkan:
⇒ ¼(a² + b²) + ½c² + ½(a + b)A + cB = 0    ...(4)

Substitusi nilai A pada persamaan (4), menghasilkan:
⇒ ¼(a² + b²) + ½c² + ½(a + b)[–½(a + b)] + cB = 0
⇒ ¼(a² + b²) + ½c² – ¼(a + b)² + cB = 0
⇒ ¼[(a + b)² – 2ab] + ½c² – ¼(a + b)² + cB = 0
⇒ ¼(a + b)² – ½ab + ½c² – ¼(a + b)² + cB = 0
⇒ ½c² – ½ab + cB = 0
⇒ cB = ½ab – ½c²
⇒ 2cB = ab – c²
⇒ B = (ab – c²) / (2c)

Dengan nilai A, B, dan C yang telah diperoleh, persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik tengah sisi-sisi ΔABC adalah:

∴ Dengan demikian, pernyataan yang ingin ditunjukkan/dibuktikan:
TERBUKTI.