Jawaban:

Kita dapat menggunakan aturan sederhana untuk menemukan sisa pembagian bilangan yang diberikan oleh 64. Aturan tersebut menyatakan bahwa bilangan modulo 64 adalah sama dengan sisa pembagian bilangan tersebut modulo 64

Mari kita terapkan aturan tersebut untuk mencari sisa pembagian bilangan 5²⁰²² +11²⁰²² oleh 64.

Pertama-tama, kita perlu menghitung nilai dari bilangan tersebut:

5²⁰²² +11²⁰²² = 25¹⁰¹¹ + 121¹⁰¹¹ = (25 + 121)¹⁰¹¹

Kita dapat menggunakan rumus pangkat binomial untuk menyelesaikan masalah ini:

(a + b)ⁿ = Σ[nCk * a^(n-k) * b^k] dari k = 0 hingga n

Dalam rumus ini, nCk adalah koefisien binomial, yang dapat dihitung dengan rumus nCk = n!/(k!*(n-k)!), dan a dan b adalah bilangan apa pun.

Dalam kasus kita, a = 25 dan b = 121, sehingga kita memiliki:

(25 + 121)¹⁰¹¹ = Σ[1011Ck * 25^(1011-k) * 121^k] dari k = 0 hingga 1011

Namun, kita tidak perlu menghitung setiap suku dalam penjumlahan ini untuk menemukan sisa pembagian oleh 64. Kita hanya perlu fokus pada suku dengan k = 0, 1, atau 2, karena 64 = 2⁶, sehingga suku dengan k > 2 akan memberikan kontribusi yang sama dengan nol dalam sisa pembagian.

Mari kita terapkan rumus pangkat binomial untuk k = 0, 1, dan 2:

k = 0:

1011C0 * 25^(1011-0) * 121^0 = 25¹⁰¹¹

k = 1:

1011C1 * 25^(1011-1) * 121^1 = 1011 * 25¹⁰¹⁰ * 121

k = 2:

1011C2 * 25^(1011-2) * 121^2 = 510255 * 25¹⁰⁰⁹ * 121²

Kita dapat menambahkan ketiga suku ini bersama-sama untuk mendapatkan nilai dari (25 + 121)¹⁰¹¹ dan kemudian menghitung sisa pembagian oleh 64. Kita dapat menulis:

(25 + 121)¹⁰¹¹ = 25¹⁰¹¹ + 1011 * 25¹⁰¹⁰ * 121 + 510255 * 25¹⁰⁰⁹ * 121²

Kita dapat mengelompokkan suku-suku yang memiliki faktor bersama dari 64:

25¹⁰¹¹ + 1011 * 25¹⁰¹⁰ * 121 + 510255 * 25¹⁰⁰⁹ * 121²

= 25¹⁰¹¹ + 3 * 25¹⁰¹⁰ * 3 * 121 + 255 * 25¹⁰⁰⁹ * 255 * 121²

= 25¹