Jawab:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan teorema sisa (remainder theorem). Menurut teorema ini, jika suatu polinomial P(x) dibagi dengan (x-a), maka sisa pembagian polinomial tersebut dapat dihitung dengan memasukkan nilai a ke dalam P(x).

Dalam kasus ini, kita diberikan informasi bahwa f(x) dibagi oleh (x-2) dengan sisa 24, sehingga kita dapat menulis:

f(x) = Q1(x) * (x-2) + 24

Di samping itu, kita juga diberikan informasi bahwa f(x) dibagi oleh (2x-3) dengan sisa 20, sehingga:

f(x) = Q2(x) * (2x-3) + 20

Kita ingin menentukan sisa pembagian f(x) dengan (x-2)(2x-3). Karena (x-2) dan (2x-3) saling prima, maka kita dapat menggunakan Chinese Remainder Theorem untuk menggabungkan kedua persamaan di atas menjadi satu persamaan. Dalam hal ini, kita mencari solusi dari sistem persamaan:

f(x) ≡ 24 (mod x-2)

f(x) ≡ 20 (mod 2x-3)

Persamaan ini ekuivalen dengan:

f(x) ≡ 24 (mod x-2)

f(x) ≡ 20 (mod x-2) + 1 (mod 2)

Dengan cara ini, kita dapat menggabungkan persamaan di atas menjadi satu persamaan yang hanya mengandung faktor (x-2), yaitu:

f(x) ≡ a(x) * (x-2) + b (mod (x-2)(2x-3))

dengan a(x) adalah suatu polinomial dan b adalah suatu konstanta yang harus ditentukan. Kita dapat menentukan b dengan mengganti x dengan 2 dalam persamaan kedua di atas:

f(2) = Q2(2) * (2*2-3) + 20

24 = Q2(2) * 1 + 20

Q2(2) = 4

Kita juga dapat menentukan a(x) dengan menggunakan metode kaidah Cramer. Untuk itu, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan:

a(x) * (x-2) ≡ 1 (mod 2x-3)

a(x) * (2x-3) ≡ 0 (mod x-2)

Dari persamaan pertama, kita dapat menulis:

a(x) * (x-2) = 1 + k(x) * (2x-3)

dengan k(x) adalah suatu polinomial yang harus ditentukan. Dalam persamaan di atas, kedua sisi dibagi dengan x-2, sehingga:

a(x) = (1 + k(x) * (2x-3)) / (x-2)

Kita ingin menentukan nilai a(2), yaitu:

a(2) = (1 + k(2) * (2*2-3)) / (2-2)

a(2) = (1 + k(2) * 1) / 0

Karena penyebutnya adalah nol, maka a(2) tidak terdefinisi. Hal ini menunjukkan bahwa (x-2

maaf jika salah.