Berikut ini adalah pertanyaan dari restudwiafrinanda999 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas
Jawaban dan Penjelasan
Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.
Jawab:
3x - 4y - 19 = 0 dan 4x + 3y - 42 = 0
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Tentukan kedudukan titik terhadap lingkaran. (9 - 2)² + (2 - 3)² = 50. Karena 50 > r², titik di luar lingkaran.
Cara cepat
Persamaan garis singgung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² yang melalui titik (x₁, y₁) di luar lingkaran adalah y - y₁ = m(x - x₁) dengan
Persamaan nya
Menggunakan rumus jarak titik ke garis
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 2 = m(x - 9)
mx - y + 2 - 9m = 0 ← bentuk Ax + By + C = 0
(-7m - 1)² = 25(m² + 1)
49m² + 14m + 1 - 25m² - 25 = 0
24m² + 14m - 24 = 0
12m² + 7m - 12 = 0
(4m - 3)(3m + 4) = 0
m₁ = ¾ atau m₂ = -4/3
Persamaan nya
Menyamakan persamaan
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 2 = m(x - 9)
y = mx - 9m + 2
Mengingat persamaan garis singgung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² yang bergradien m adalah
(-7m - 1)² = 25(m² + 1)
49m² + 14m + 1 - 25m² - 25 = 0
24m² + 14m - 24 = 0
12m² + 7m - 12 = 0
(4m - 3)(3m + 4) = 0
m₁ = ¾ atau m₂ = -4/3
Persamaan nya
Metode garis polar
(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²
(9 - 2)(x - 2) + (2 - 3)(y - 3) = 25
7x - 14 - y + 3 - 25 = 0
7x - y - 36 = 0
y = 7x - 36 ← persamaan garis polar
Substitusi ke persamaan lingkaran
(x - 2)² + (y - 3)² = 25
(x - 2)² + (7x - 39)² - 25 = 0
x² - 4x + 4 + 49x² - 546x + 1521 - 25 = 0
50x² - 550x + 1500 = 0
x² - 11x + 30 = 0
(x - 5)(x - 6) = 0
x₂ = 5 atau x₃ = 6
y₂ = 7(5) - 36 = -1 atau y₃ = 7(6) - 36 = 6
Titik singgung nya (5, -1) dan (6, 6)
Persamaan nya
Metode diskriminan
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 2 = m(x - 9)
y = mx - 9m + 2
Substitusi ke persamaan lingkaran
(x - 2)² + (y - 3)² = 25
(x - 2)² + (mx - 9m - 1)² - 25 = 0
x² - 4x + 4 + m²x² + 81m² + 1 - 18m²x - 2mx + 18m - 25 = 0
(m² + 1)x² + (-18m² - 2m - 4)x + 81m² + 18m - 20 = 0
D = 0
(-18m² - 2m - 4)² - 4(m² + 1)(81m² + 18m - 20) = 0
324m⁴ + 4m² + 16 + 72m³ + 144m² + 16m - 4(81m⁴ + 18m³ - 20m² + 81m² + 18m - 20) = 0
324m⁴ + 4m² + 16 + 72m³ + 144m² + 16m - 324m⁴ - 72m³ + 80m² - 324m² - 72m + 80 = 0
-96m² - 56m + 96 = 0
12m² + 7m - 12 = 0
(4m - 3)(3m + 4) = 0
m₁ = ¾ atau m₂ = -4/3
Persamaan nya
![Jawab:3x - 4y - 19 = 0 dan 4x + 3y - 42 = 0Penjelasan dengan langkah-langkah:Tentukan kedudukan titik terhadap lingkaran. (9 - 2)² + (2 - 3)² = 50. Karena 50 > r², titik di luar lingkaran.Cara cepatPersamaan garis singgung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² yang melalui titik (x₁, y₁) di luar lingkaran adalah y - y₁ = m(x - x₁) dengan [tex]\displaystyle m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}[/tex][tex]\displaystyle m=\frac{(9-2)(2-3)\pm 5\sqrt{(9-2)^2+(2-3)^2-25}}{(9-2)^2-25}\\m_1=\frac{3}{4}~\textrm{atau}~m_2=-\frac{4}{3}[/tex]Persamaan nya[tex]\displaystyle \begin{matrix}y-y_1=m_1(x-x_1) & y-y_1=m_2(x-x_1)\\ y-2=\frac{3}{4}(x-9) & y-2=-\frac{4}{3}(x-9)\\4y-8=3x-27 & 3y-6=-4x+36\\3x-4y-19=0 & 4x+3y-42=0\end{matrix}[/tex]Menggunakan rumus jarak titik ke garisy - y₁ = m(x - x₁)y - 2 = m(x - 9)mx - y + 2 - 9m = 0 ← bentuk Ax + By + C = 0[tex]\displaystyle r=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\5=\frac{|m(2)+(-1)(3)+2-9m|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}[/tex](-7m - 1)² = 25(m² + 1)49m² + 14m + 1 - 25m² - 25 = 024m² + 14m - 24 = 012m² + 7m - 12 = 0(4m - 3)(3m + 4) = 0m₁ = ¾ atau m₂ = -4/3Persamaan nya[tex]\displaystyle \begin{matrix}y-y_1=m_1(x-x_1) & y-y_1=m_2(x-x_1)\\ y-2=\frac{3}{4}(x-9) & y-2=-\frac{4}{3}(x-9)\\4y-8=3x-27 & 3y-6=-4x+36\\3x-4y-19=0 & 4x+3y-42=0\end{matrix}[/tex]Menyamakan persamaany - y₁ = m(x - x₁)y - 2 = m(x - 9)y = mx - 9m + 2Mengingat persamaan garis singgung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² yang bergradien m adalah [tex]\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}[/tex][tex]\displaystyle y-3=m(x-2)\pm 5\sqrt{m^2+1}\\y=mx-2m+3\pm 5\sqrt{m^2+1}\\mx-9m+2=mx-2m+3\pm 5\sqrt{m^2+1}\\-7m-1=\pm 5\sqrt{m^2+1}[/tex](-7m - 1)² = 25(m² + 1)49m² + 14m + 1 - 25m² - 25 = 024m² + 14m - 24 = 012m² + 7m - 12 = 0(4m - 3)(3m + 4) = 0m₁ = ¾ atau m₂ = -4/3Persamaan nya[tex]\displaystyle \begin{matrix}y-y_1=m_1(x-x_1) & y-y_1=m_2(x-x_1)\\ y-2=\frac{3}{4}(x-9) & y-2=-\frac{4}{3}(x-9)\\4y-8=3x-27 & 3y-6=-4x+36\\3x-4y-19=0 & 4x+3y-42=0\end{matrix}[/tex]Metode garis polar(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²(9 - 2)(x - 2) + (2 - 3)(y - 3) = 257x - 14 - y + 3 - 25 = 07x - y - 36 = 0y = 7x - 36 ← persamaan garis polarSubstitusi ke persamaan lingkaran(x - 2)² + (y - 3)² = 25(x - 2)² + (7x - 39)² - 25 = 0x² - 4x + 4 + 49x² - 546x + 1521 - 25 = 050x² - 550x + 1500 = 0x² - 11x + 30 = 0(x - 5)(x - 6) = 0x₂ = 5 atau x₃ = 6y₂ = 7(5) - 36 = -1 atau y₃ = 7(6) - 36 = 6Titik singgung nya (5, -1) dan (6, 6)Persamaan nya[tex]\displaystyle \begin{matrix}(x_2-a)(x-a)+(y_2-b)(y-b)=r^2 & (x_3-a)(x-a)+(y_3-b)(y-b)=r^2\\ (5-2)(x-2)+(-1-3)(y-3)=25 & (6-2)(x-2)+(6-3)(y-3)=25\\ 3x-6-4y+12-25=0 & 4x-8+3y-9-25=0\\ 3x-4y-19=0 & 4x+3y-42=0\end{matrix}[/tex]Metode diskriminany - y₁ = m(x - x₁)y - 2 = m(x - 9)y = mx - 9m + 2Substitusi ke persamaan lingkaran(x - 2)² + (y - 3)² = 25(x - 2)² + (mx - 9m - 1)² - 25 = 0x² - 4x + 4 + m²x² + 81m² + 1 - 18m²x - 2mx + 18m - 25 = 0(m² + 1)x² + (-18m² - 2m - 4)x + 81m² + 18m - 20 = 0D = 0(-18m² - 2m - 4)² - 4(m² + 1)(81m² + 18m - 20) = 0324m⁴ + 4m² + 16 + 72m³ + 144m² + 16m - 4(81m⁴ + 18m³ - 20m² + 81m² + 18m - 20) = 0324m⁴ + 4m² + 16 + 72m³ + 144m² + 16m - 324m⁴ - 72m³ + 80m² - 324m² - 72m + 80 = 0-96m² - 56m + 96 = 012m² + 7m - 12 = 0(4m - 3)(3m + 4) = 0m₁ = ¾ atau m₂ = -4/3Persamaan nya[tex]\displaystyle \begin{matrix}y-y_1=m_1(x-x_1) & y-y_1=m_2(x-x_1)\\ y-2=\frac{3}{4}(x-9) & y-2=-\frac{4}{3}(x-9)\\4y-8=3x-27 & 3y-6=-4x+36\\3x-4y-19=0 & 4x+3y-42=0\end{matrix}[/tex]](https://id-static.z-dn.net/files/da6/587abb173766c695d5d49e00071a5fd5.jpg)
Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh peesbedrf dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.
Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact
Last Update: Thu, 11 May 23