Jawab:

turunan pertama dari f(x) = x²+3/2x²+1 adalah f'(x) = (10x) / (2x² + 1)².

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Turunan pertama dari suatu fungsi didefinisikan sebagai laju perubahan nilai fungsi terhadap variabelnya. Untuk mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = x²+3/2x²+1, kita perlu menggunakan aturan turunan dari fungsi kuadratik dan pecahan. Aturan turunan untuk fungsi kuadratik adalah:

d/dx (ax² + bx + c) = 2ax + b

Aturan turunan untuk pecahan adalah:

d/dx (u/v) = (v (du/dx) - u (dv/dx)) / v²

Dalam hal ini, kita perlu menerapkan aturan pecahan pada fungsi f(x), karena terdapat pecahan di dalamnya. Untuk mempermudah notasi, kita tuliskan fungsi f(x) sebagai:

f(x) = (x² + 3) / (2x² + 1)

Untuk mencari turunan pertama dari f(x), kita perlu menghitung turunan pembilang dan penyebut secara terpisah, lalu menggunakan aturan pecahan untuk menghitung turunan f(x).

Turunan pembilang, f₁(x):

f₁(x) = d/dx (x² + 3) = 2x

Turunan penyebut, g₁(x):

g₁(x) = d/dx (2x² + 1) = 4x

Sekarang kita dapat menggunakan aturan pecahan untuk menghitung turunan f(x):

f'(x) = [g(x) f₁(x) - f(x) g₁(x)] / g(x)²

Substitusikan f₁(x) dan g₁(x) ke dalam rumus:

f'(x) = [(4x) (x² + 3) - (2x) (2x² + 1)] / (2x² + 1)²

Sederhanakan dan faktorkan:

f'(x) = (4x³ + 12x - 4x³ - 2x) / (2x² + 1)²

f'(x) = (10x) / (2x² + 1)²

Jadi, turunan pertama dari f(x) = x²+3/2x²+1 adalah f'(x) = (10x) / (2x² + 1)².