Jawab:

Untuk mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya X1+1 dan X2+2, kita dapat menggunakan sifat akar-akar persamaan kuadrat.

Sifat akar-akar persamaan kuadrat menyatakan bahwa jika X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat tersebut dapat dituliskan dalam bentuk:

ax² + bx + c = a(x - X1)(x - X2)

Dalam bentuk ini, X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, dan (x - X1) dan (x - X2) adalah faktor-faktor dari persamaan kuadrat tersebut.

Kita sudah mengetahui bahwa X1 dan X2 merupakan akar-akar persamaan 3X²+X-1=0. Untuk mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya X1+1 dan X2+2, kita harus mencari persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah X1+1 dan X2+2.

Dalam hal ini, kita bisa menggunakan sifat akar-akar persamaan kuadrat lagi untuk membantu mencari persamaan kuadrat baru.

Kita tahu bahwa jika X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan 3X²+X-1=0, maka:

3X² + X - 1 = 3(X - X1)(X - X2)

Dengan mengganti X1 dengan X1+1 dan X2 dengan X2+2, kita dapat menuliskan persamaan kuadrat baru sebagai berikut:

3[(X - (X1+1))(X - (X2+2))] = 3(X - X1 - 1)(X - X2 - 2)

Kita bisa melakukan ekspansi pada faktor di sebelah kanan untuk mendapatkan persamaan kuadrat baru dalam bentuk standar:

3(X² - (X1+X2+3)X + (X1+1)(X2+2)) = 3X² - 3(X1+X2+3)X + 3(X1+1)(X2+2)

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya X1+1 dan X2+2 adalah:

3X² - 3(X1+X2+3)X + 3(X1+1)(X2+2)

Sekali lagi, kita bisa menggunakan rumus diskriminan untuk mengecek apakah persamaan kuadrat ini memiliki akar-akar X1+1 dan X2+2. Jika diskriminan positif, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda; jika diskriminan nol, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar ganda; dan jika diskriminan negatif, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real.

Dalam hal ini, diskriminan persamaan kuadrat baru adalah:

b² - 4ac = [-3(X1+X2+3)]² - 4(3)(X1+1)(X2+2)

= 9(X1+X2+3)² - 12(X1+1)(X2+2)