1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui persamaan garis singgung lingkaran [tex]\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex] adalah [tex]\displaystyle y-b=m(x-a)\pm

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui persamaan garis singgung lingkaran \displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2adalah\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}. Jika persamaan garis singgung nya dapat dinyatakan dengan \displaystyle y-y_1=m(x-x_1) karena melalui titik (x₁, y₁) di luar lingkaran, buktikan bahwa gradien garis singgung nya:\displaystyle m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}
Diketahui persamaan garis singgung lingkaran [tex]\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex] adalah [tex]\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}[/tex]. Jika persamaan garis singgung nya dapat dinyatakan dengan [tex]\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)[/tex] karena melalui titik (x₁, y₁) di luar lingkaran, buktikan bahwa gradien garis singgung nya: [tex]\displaystyle m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}[/tex]

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Pernyataan bahwa gradien garis singgung lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² yang melalui titik A(x₁, y₁) di luar lingkaran tersebut adalah:

\displaystyle m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}
TERBUKTI.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pertama-tama, kita transformasi lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² dan titik A(x₁, y₁) di luar lingkaran, sejauh (–a, –b).

  • (x – a)² + (y – b)² = r²  →  x² + y² = r², berpusat di (0, 0).
  • A(x_1, y_1)  →  A'(x₁ – a, y₁ – b)

Selain dalam bentuk y - y_1=m(x-x_1), persamaan garis lurus juga dapat dinyatakan oleh y = mx + cdenganm = (y-y_1)/(x-x_1). Dalam hal ini, nilai xdany dipenuhi oleh absis dan ordinat dari titik singgung pada lingkaran.

Substitusi y\leftarrow mx+c pada persamaan lingkaran, memberikan:

\begin{aligned}&x^2+(mx+c)^2=r^2\\&\Rightarrow x^2+m^2x^2+2mcx+c^2=r^2\\&\Rightarrow x^2\left(m^2+1\right)+2mcx+\left(c^2-r^2\right)=0\end{aligned}

Setiap garis singgung lingkaran menyinggung tepat satu titik pada lingkaran. Oleh karena itu, persamaan kuadrat tersebut harus memiliki solusi tunggal, atau sering diistilahkan dengan memiliki akar kembar, yang terpenuhi jika nilai diskriminannya = 0.

Dari persamaan kuadrat tersebut, dapat kita ambil:

\begin{aligned}A=m^2+1,\ B=2mc,\ C=c^2-r^2\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}0&=B^2-4AC\\&=4m^2c^2-4\left(m^2+1\right)\left(c^2-r^2\right)\\&=4m^2c^2-4\left(m^2c^2+c^2-m^2r^2-r^2\right)\\&=-4c^2+4r^2\left(m^2+1\right)\\4c^2&=4r^2\left(m^2+1\right)\\c^2&=r^2\left(m^2+1\right)\end{aligned}

Titik A(x_1, y_1)setelah mengalami translasi di atas menjadiA'(x_1-a, y_1-b).

Maka:

\begin{aligned}&y_1-b=m(x_1-a)+c\\&{\Rightarrow\ }c=(y_1-b)-m(x_1-a)\\&{\Rightarrow\ }c^2=(y_1-b)^2-2m(x_1-a)(y_1-b)+m^2(x_1-a)^2\\&{\Rightarrow\ }m^2(x_1-a)^2-c^2-2m(x_1-a)(y_1-b)+(y_1-b)^2=0\\&{\sf Karena\ }c^2=r^2\left(m^2+1\right):\\&{\Rightarrow\ }m^2(x_1-a)^2-r^2\left(m^2+1\right)-2m(x_1-a)(y_1-b)+(y_1-b)^2=0\\&{\Rightarrow\ }m^2(x_1-a)^2-m^2r^2-r^2-2m(x_1-a)(y_1-b)+(y_1-b)^2=0\\&{\Rightarrow\ }m^2(x_1-a)^2-m^2r^2-2m(x_1-a)(y_1-b)+(y_1-b)^2-r^2=0\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\left((x_1-a)^2-r^2\right)m^2-2(x_1-a)(y_1-b)m+\left((y_1-b)^2-r^2\right)=0\end{aligned}

Dengan rumus ABC:

\begin{aligned}m&=\frac{2(x_1-a)(y_1-b)\pm\sqrt{\begin{array}{l}4(x_1-a)^2(y_1-b)^2\\-4\left((x_1-a)^2-r^2\right)\left((y_1-b)^2-r^2\right)\end{array}}}{2\left((x_1-a)^2-r^2\right)}\\m&=\frac{2(x_1-a)(y_1-b)\pm\sqrt{\begin{array}{l}4(x_1-a)^2(y_1-b)^2\\-4\left((x_1-a)^2(y_1-b)^2-\left((x_1-a)^2+(y_1-b)^2\right)r^2+r^4\right)\end{array}}}{2\left((x_1-a)^2-r^2\right)}\end{aligned}
\begin{aligned}m&=\frac{2(x_1-a)(y_1-b)\pm\sqrt{\begin{array}{l}\cancel{4(x_1-a)^2(y_1-b)^2}-\cancel{4(x_1-a)^2(y_1-b)^2}\\+4\left((x_1-a)^2+(y_1-b)^2\right)r^2-4r^4\end{array}}}{2\left((x_1-a)^2-r^2\right)}\\m&=\frac{2(x_1-a)(y_1-b)\pm\sqrt{4r^2\left((x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2\right)}}{2\left((x_1-a)^2-r^2\right)}\\m&=\frac{\cancel{2}(x_1-a)(y_1-b)\pm\cancel{2}r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{\cancel{2}\left((x_1-a)^2-r^2\right)}\end{aligned}
\begin{aligned}m&=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}\\\end{aligned}

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, terbukti bahwa gradien garis singgung lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² yang melalui titik A(x₁, y₁) di luar lingkaran tersebut adalah:

\boxed{\vphantom{\Bigg|}m=\frac{(x_1-a)(y_1-b)\pm2r\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}}{(x_1-a)^2-r^2}\\}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 08 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>