Faktor linier dari x⁵ – 3x⁴ + 2x³ – 2x² + 8 adalah (x + 1) dan (x – 2).
 

Penjelasan

Faktor Polinomial

Diberikan polinomial:
x⁵ – 3x⁴ + 2x³ – 2x² + 8

Faktor-faktor linier dari polinomial tersebut dapat ditemukan dengan mencari akarnya.
Dengan teorema akar rasional, salah satu faktornya terdapat dalam himpunan faktor-faktor dari hasil bagi konstanta oleh koefisien derajat tertinggi, dalam hal ini 8/1 = 8.

Faktor-faktor dari 8 adalah ± {1, 2, 4, 8}.
Karena 8 = 2³, kita bisa mencoba x = 2.
2⁵ – 3·2⁴ + 2·2³ – 2·2² + 8
= 32 – 48 + 16 – 8 + 8
= –16 + 16
= 0

Karena hasilnya 0, maka salah satu akarnya adalah x = 2, sehingga salah satu faktornya adalah (x – 2).

x⁵ – 3x⁴ + 2x³ – 2x² + 8
= x⁴(x – 2) – x⁴ + 2x³ – 2x² + 8
= x⁴(x – 2) – x³(x – 2) – 2x² + 8
= x⁴(x – 2) – x³(x – 2) – 2x(x – 2) – 4x + 8
= x⁴(x – 2) – x³(x – 2) – 2x(x – 2) – 4(x – 2)
= (x – 2)(x⁴ – x³ – 2x – 4)

• Untuk x⁴ – x³ – 2x – 4 = 0, kita coba lagi x = 2.
  2⁴ – 2³ – 2·2 – 4 = 16 – 8 – 4 – 4 = 0.
  Maka kita faktorkan terhadap (x – 2) lagi.

= (x – 2)[ x³(x – 2) + x³ – 2x – 4 ]
= (x – 2)[ x³(x – 2) + x²(x – 2) + 2x² – 2x – 4 ]
= (x – 2)[ x³(x – 2) + x²(x – 2) + 2x(x – 2) + 2x – 4 ]
= (x – 2)[ x³(x – 2) + x²(x – 2) + 2x(x – 2) + 2(x – 2) ]
= (x – 2)(x – 2)(x³ + x² + 2x + 2)

• Untuk x³ + x² + 2x + 2 = 0, perhatikan bahwa operatornya adalah “+” semua, maka faktor positif dari 2 tidak memenuhi x³ + x² + 2x + 2 = 0.
  Kita coba x = –1.
  (–1)³ + (–1)² + 2(–1) + 2 = –1 + 1 – 2 + 2 = 0.
  Maka, faktor linier selanjutnya adalah (x + 1).

= (x – 2)(x – 2)[ x²(x + 1) + 2(x + 1) ]
= (x – 2)(x – 2)(x + 1)(x² + 2)

KESIMPULAN
∴ Jadi, faktor linier dari x⁵ – 3x⁴ + 2x³ – 2x² + 8 adalah:
(x + 1)dan(x – 2).