Jawaban:

Untuk menemukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik tertentu, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Tentukan terlebih dahulu pusat lingkaran dan jari-jarinya. Kita bisa memformulasikan persamaan lingkaran dalam bentuk standar, yaitu:

(x - a)² + (y - b)² = r²

dengan (a, b) adalah koordinat pusat lingkaran dan r adalah jari-jari lingkaran.

Dalam kasus ini, persamaan lingkaran dapat ditulis ulang sebagai:

(x - 1)² + (y + 5)² = 16

karena x² - 2x + y² + 10y = 0 dapat difaktorkan menjadi (x - 1)² + (y + 5)² = 16.

Sehingga pusat lingkaran adalah (1, -5) dan jari-jarinya adalah 4.

2. Tentukan kemiringan garis singgung pada titik (-2, 4). Untuk itu, kita bisa menggunakan persamaan turunan dari persamaan lingkaran:

2(x - 1) + 2(y + 5)y' = 0

y' = - (x - 1) / (y + 5)

Pada titik (-2, 4), kemiringan garis singgung adalah:

y' = - (-2 - 1) / (4 + 5) = 3/5

3. Dengan menggunakan persamaan titik-kemiringan, yaitu:

y - y1 = m(x - x1)

dengan (x1, y1) adalah titik yang dilewati oleh garis dan m adalah kemiringan garis, kita bisa menemukan persamaan garis singgung:

y - 4 = (3/5)(x + 2)

Atau jika ingin dalam bentuk umum, kita dapat menulis ulang persamaan tersebut sebagai:

3x - 5y + 22 = 0

Sehingga, persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² - 2x + 10y = 0 yang melalui titik (-2, 4) adalah 3x - 5y + 22 = 0.