4. Tentukan matriks P yang memenuhi persama- tan berikut!

Berikut ini adalah pertanyaan dari Jogva pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\large\text{$\begin{aligned}{\sf 4.a.}\ \:&P=\begin{pmatrix}\bf2&\bf1\\\bf3&\bf2\end{pmatrix}\\{\sf 4.b.}\ \:&P=\begin{pmatrix}\bf3&\bf35\\\bf-2&\bf-20\end{pmatrix}\end{aligned}$}$
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Operasi pada Matriks

Nomor 4.a.

Diberikan persamaan:

$\begin{aligned}P\begin{pmatrix}6&-2\\-5&2\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}7&-2\\8&-2\end{pmatrix}\end{aligned}$

Untuk mencari matriks $P$ , kita dapat menggunakan sifat invers dan identitas matriks.

$\begin{aligned}P\cdot A&=B\\P\cdot A\cdot A^{-1}&=B\cdot A^{-1}\\P\cdot I&=B\cdot A^{-1}\\\therefore\ P&=B\cdot A^{-1}\\\end{aligned}$

Maka:

$\begin{aligned}P&=\begin{pmatrix}7&-2\\8&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&-2\\-5&2\end{pmatrix}^{-1}\\&=\begin{pmatrix}7&-2\\8&-2\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\begin{vmatrix}6&-2\\-5&2\end{vmatrix}}\begin{pmatrix}2&2\\5&6\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}7&-2\\8&-2\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{6\cdot2-(-5)\cdot(-2)}\begin{pmatrix}2&2\\5&6\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}7&-2\\8&-2\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{12-10}\begin{pmatrix}2&2\\5&6\end{pmatrix}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=\begin{pmatrix}7&-2\\8&-2\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&2\\5&6\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}7&-2\\8&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\ {}^5\!/_2&3\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}7\cdot1+(-2)\cdot {}^5\!/_2&7\cdot1+(-2)\cdot3\\8\cdot1+(-2)\cdot {}^5\!/_2&8\cdot1+(-2)\cdot3\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}7-5&7-6\\8-5&8-6\end{pmatrix}\\P&=\begin{pmatrix}\bf2&\bf1\\\bf3&\bf2\end{pmatrix}\\\end{aligned}$
$\blacksquare$

Nomor 4.b.

Diberikan persamaan:

$\begin{aligned}\begin{pmatrix}4&7\\3&5\end{pmatrix}P&=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2\\1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&4\\2&5\end{pmatrix}\end{aligned}$

Untuk mencari matriks $P$ , kita dapat menggunakan sifat invers dan identitas matriks, namun agak berbeda dengan nomor 4.a. di atas, karena perbedaan posisi dari matriks $P$ pada perkalian di ruas kiri.

$\begin{aligned}A\cdot P&=B\\A^{-1}\cdot A\cdot P&=A^{-1}\cdot B\\I\cdot P&=A^{-1}\cdot B\\\therefore\ P&=A^{-1}\cdot B\\\end{aligned}$

Maka:

$\begin{aligned}P&=\begin{pmatrix}4&7\\3&5\end{pmatrix}^{-1}\cdot\left[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2\\1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&4\\2&5\end{pmatrix}\right]\\&=\frac{1}{\begin{vmatrix}4&7\\3&5\end{vmatrix}}\begin{pmatrix}5&-7\\-3&4\end{pmatrix}\cdot\left[\begin{pmatrix}-1+2&2+2\\-3+4&6+4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&4\\2&5\end{pmatrix}\right]\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{20-21}\begin{pmatrix}5&-7\\-3&4\end{pmatrix}\cdot\left[\begin{pmatrix}1&4\\1&10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&4\\2&5\end{pmatrix}\right]\\&=(-1)\begin{pmatrix}5&-7\\-3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1-3&4-4\\1-2&10-5\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-5&7\\3&-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2&0\\-1&5\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}10-7&0+35\\-6+4&0-20\end{pmatrix}\\P&=\begin{pmatrix}\bf3&\bf35\\\bf-2&\bf-20\end{pmatrix}\end{aligned}$
$\blacksquare$