integral lipat 2 ini hasilnya gmna ya?

Berikut ini adalah pertanyaan dari swifttyxx pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Integral lipat 2 ini hasilnya gmna ya?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil dari $\displaystyle{\int\limits^1_0 {\int\limits^1_0 {xye^{x^2-y^2}} \, dy } \, dx }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{(e-1)^2}{4e}} }$ .

PEMBAHASAN

$\displaystyle{\int\limits {\int\limits_R {f(x,y)} \, } \, dA }$ menyatakan volume benda padat yang berada di bawah permukaan z = f(x,y) dan di atas R.

Pada pengerjaan integral lipat dua, pengerjaannya bisa kita tukar antara variabel x dan variabel y. Ketika kita mengintegralkan terhadap variabel x, maka variabel y kita anggap sebagai suatu konstanta, begitu juga sebaliknya.

$\displaystyle{\int\limits {\int\limits_R {f(x,y)} \, } \, dA=\int\limits^{x_2}_{x_1} {\int\limits^{y_2}_{y_1} {f(x,y)} \, dy \, dx }=\int\limits^{y_2}_{y_1} {\int\limits^{x_2}_{x_1} {f(x,y)} \, dx \, dy } }$

Dengan x₁, x₂, y₁, y₂ merupakan batas batas integral pada bidang XY.

DIKETAHUI

$\displaystyle{\int\limits^1_0 {\int\limits^1_0 {xye^{x^2-y^2}} \, dy } \, dx= }$

DITANYA

Tentukan hasilnya.

PENYELESAIAN

Karena fungsi diintergalkan terhadap dy dahulu, maka variabel x kita anggap sebagai konstanta. Gunakan metode substitusi.

Misal :

$u=x^2-y^2$

$du=-2ydy$

$\displaystyle{\int\limits^1_0 {\int\limits^1_0 {xye^{x^2-y^2}} \, dy } \, dx }$

$\displaystyle{=\int\limits^1_0 {\int\limits^1_0 {xye^{u}} \, \frac{du}{-2y} } \, dx }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\int\limits^1_0 {\int\limits^1_0 {xe^{u}} \, du } \, dx }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\int\limits^1_0 {xe^u\Bigr|^1_0 } \, dx }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\int\limits^1_0 {xe^{x^2-y^2}\Bigr|^1_0 } \, dx }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\int\limits^1_0 {x\left ( e^{x^2-1^2}-e^{x^2-0^2} \right ) } \, dx }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\int\limits^1_0 {\left ( xe^{x^2-1}-xe^{x^2} \right ) } \, dx }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\left ( \int\limits^1_0 {xe^{x^2-1} } \, dx -\int\limits^1_0 {xe^{x^2} } \, dx\right ) }$

$-----------$

Misal :

$u=x^2-1~\to~du=2xdx$

$v=x^2~\to~dv=2xdx$

$-----------$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\left ( \int\limits^1_0 {xe^{u} } \, \frac{du}{2x} -\int\limits^1_0 {xe^{v} } \, \frac{dv}{2x}\right ) }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}\int\limits^1_0 {e^{u} } \, du -\frac{1}{2}\int\limits^1_0 {e^{v} } \, dv\right ) }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{4}\left ( \int\limits^1_0 {e^{u} } \, du-\int\limits^1_0 {e^{v} } \, dv\right ) }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{4}\left (e^u\Bigr|^1_0-e^v\Bigr|^1_0\right ) }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{4}\left (e^{x^2-1}\Bigr|^1_0-e^{x^2}\Bigr|^1_0\right ) }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{4}\left [e^{1^2-1}-e^{0^2-1}-\left ( e^{1^2}-e^{0^2} \right ) \right ] }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{4}\left (1-e^{-1}-e+1 \right ) }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{4}\left (2-\frac{1}{e}-e \right ) }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{4}\left (\frac{2e-1-e^2}{e} \right ) }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{4}\left [\frac{-(e^2-2e+1)}{e} \right ] }$

$\displaystyle{=\frac{1}{4}\left [\frac{(e-1)^2}{e} \right ] }$

$\displaystyle{=\frac{(e-1)^2}{4e} }$

KESIMPULAN

Hasil dari $\displaystyle{\int\limits^1_0 {\int\limits^1_0 {xye^{x^2-y^2}} \, dy } \, dx }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{(e-1)^2}{4e}} }$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Mencari volume benda pejal di R3 : yomemimo.com/tugas/29243169
Integral lipat 3 dengan koordinat bola : yomemimo.com/tugas/29456603
Integral lipat dua : yomemimo.com/tugas/29172689

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Integral Lipat

Kode Kategorisasi: x.x.x

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 08 Jul 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

integral lipat 2 ini hasilnya gmna ya?​