Jawaban:

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan Teorema Euler tentang fungsi totien dan Sisa Hasil Bagi China.

Pertama, kita lihat bahwa 64 = 2^6, sehingga kita perlu mencari sisa bagi dari 5^2022 + 11^2023 modulo 2^6.

Pertama-tama, kita perlu menghitung φ(64), yaitu fungsi totien dari 64. Karena 64 = 2^6, maka

φ(64) = φ(2^6) = 2^5 × (1 - 1/2) = 32.

Sekarang kita perlu mengevaluasi 5^2022 dan 11^2023 modulo 2^6.

Dari Teorema Euler, jika a dan n adalah bilangan bulat positif yang relatif prima, maka a^φ(n) ≡ 1 (mod n).

Karena 5 dan 11 relatif prima dengan 64, maka kita dapat menggunakan teorema Euler untuk menemukan bahwa

5^32 ≡ 1 (mod 64)

11^32 ≡ 1 (mod 64)

Kemudian, kita dapat menghitung eksponen terkecil dari 5 dan 11 yang perlu kita hitung modulo 32:

2022 ≡ 14 (mod 32)

2023 ≡ 15 (mod 32)

Dengan menggunakan sisa hasil bagi China, kita dapat menemukan solusi unik x yang memenuhi persamaan sistem:

x ≡ a (mod p)

x ≡ b (mod q)

di mana p dan q adalah bilangan bulat yang relatif prima dan a, b, p, dan q sembarang bilangan bulat.

Dalam hal ini, kita memiliki:

x ≡ 5^14 (mod 64)

x ≡ 11^15 (mod 64)

Pertama, kita hitung 5^14 modulo 64:

5^2 ≡ 25 (mod 64)

5^4 ≡ 625 ≡ 1 (mod 64)

Sehingga 5^14 ≡ (5^4)^3 × 5^2 ≡ 25 (mod 64)

Kedua, kita hitung 11^15 modulo 64:

11^2 ≡ 121 ≡ 57 (mod 64)

11^4 ≡ (11^2)^2 ≡ 3249 ≡ 1 (mod 64)

Sehingga 11^15 ≡ (11^4)^3 × 11^3 ≡ 57^3 × 11^3 ≡ 49 (mod 64)

Dengan menggunakan sisa hasil bagi China, kita dapat menemukan solusi unik x yang memenuhi persamaan sistem:

x ≡ 25 (mod 64)

x ≡ 49 (mod 64)

Karena 25 dan 49 sudah dalam modulo 64, maka solusinya adalah:

x ≡ 25 (mod 64)

Jadi, sisa pembagian 5^2022 +11^2023 oleh 64 adalah 25.