A. Untuk menghitung kecepatan partikel, kita perlu menghitung turunan vektor posisi terhadap waktu:

v = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)

dx/dt = 4t, dy/dt = 2t, dan dz/dt = 3

Sehingga, pada saat t = 1, kecepatan partikel adalah:

v = (4(1), 2(1), 3) = (4, 2, 3)

b) Untuk menghitung percepatan partikel, kita perlu menghitung turunan vektor kecepatan terhadap waktu:

a = (dvx/dt, dvy/dt, dvz/dt)

dvx/dt = 4, dvy/dt = 2, dan dvz/dt = 0

Sehingga, pada saat t = 3, percepatan partikel adalah:

a = (4, 2, 0)

a) Gaya magnetik yang dihasilkan oleh q1 pada q2 diberikan oleh rumus:

F = q2(v2 x B)

Untuk menghitung vektor medan magnetik B, kita perlu menggunakan hukum Biot-Savart:

dB = (Ho/4πr²)q1v1 x f

Sehingga, vektor medan magnetik B adalah:

B = ∫dB = (Ho/4πr²)q1∫v1 x f dt

Karena q1, Ho, r, dan f konstan, maka dapat dituliskan sebagai:

B = (Hoq1/4πr²) v1 x f

Sehingga, gaya magnetik yang dihasilkan oleh q1 pada q2 dapat dituliskan sebagai:

F = q2(v2 x (Hoq1/4πr²) v1 x f)

= (Hoq1q2/4πr²) [(v2 x v1) x f]

B. Gaya magnetik yang dihasilkan oleh q2 pada q1 memiliki bentuk yang sama dengan F, tetapi dengan mengganti q1 dengan q2, dan v1 dengan v2. Jadi, gaya magnetik F1 yang dihasilkan oleh q2 pada q1 adalah:

F1 = (Hoq1q2/4πr²) [(v1 x v2) x f]

Perbandingan antara F1 dan F2 tergantung pada nilai v1 dan v2, serta arah dari f. Kedua gaya memiliki magnitudo yang sama, tetapi arahnya berlawanan.

C. Untuk menghitung gaya magnetik pada kedua muatan, kita perlu menghitung dulu besarnya vektor satuan f yaitu:

f = r / |r| = (-2i + 2j + 3k) / 3

Selanjutnya, kita bisa menggunakan rumus yang telah diberikan untuk menghitung gaya magnetik pada kedua muatan:

F₁ = q₂ v₂ × B = q₂ v₂ × (Hoq₁ / 4πr²) × f

F₂ = q₁ v₁ × B = q₁ v₁ × (Hoq₂ / 4πr²) × f

Jika kedua muatan bergerak sejajar, artinya vektor kecepatan v₁ dan v₂ sejajar dengan vektor satuan f. Karena vektor hasil perkalian silang antara vektor sejajar adalah nol, maka gaya magnetik pada kedua muatan juga akan nol. Dalam hal ini, F₁ = F₂ = 0.

Untuk menghitung nilai F₁ dan F₂ jika kedua muatan bergerak sejajar, kita dapat menggunakan rumus yang telah diberikan dengan mengubah vektor satuan f menjadi vektor sejajar dengan vektor kecepatan v₁ dan v₂. Karena vektor f sejajar dengan sumbu z, maka vektor sejajar dengan v₁ dan v₂ dapat dihitung sebagai berikut:

f' = (0i + 0j + 1k)

v₁' = (0i + 1j + 0k)

v₂' = (0i + 1j + 0k)

Selanjutnya, kita substitusikan nilai vektor f', v₁', v₂', dan nilai-nilai lain yang telah diberikan ke dalam rumus untuk menghitung gaya magnetik pada kedua muatan:

F₁ = q₂ v₂' × B = q₂ v₂' × (Hoq₁ / 4πr²) × f' = (2.5 × 10⁻⁴ N)

F₂ = q₁ v₁' × B = q₁ v₁' × (Hoq₂ / 4πr²) × f' = (2.5 × 10⁻⁴ N)

Dengan demikian, nilai F₁ dan F₂ adalah sebesar 2.5 × 10⁻⁴ N.