jawab

1. utk mencari polinom/deret Taylor orde-3 pada x=1 tentukan turunan dari f(x) hingga orde ke-3:

f(x) = x^3 – 2x^2 + 3x + 5

f'(x) = 3x^2 – 4x + 3

f''(x) = 6x – 4

f'''(x) = 6

selanjutny gunakan rumus deret Taylor untuk f(x) pada x=1 dgn orde-3:

T3(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + f''(1)(x-1)^2/2 + f'''(1)(x-1)^3/6

substitusi nilai f(x), f'(x), f''(x), dan f'''(x) ke persamaan diatas:

T3(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + f''(1)(x-1)^2/2 + f'''(1)(x-1)^3/6

T3(x) = (1)^3 – 2(1)^2 + 3(1) + 5 + 3(1)^2 – 4(1) + 3 + 6(1) – 4^2/2 + 6(x-1)^3/6

T3(x) = 7 – 1(x-1) + 1(x-1)^2 – (x-1)^3/3

maka polinom atau deret Taylor orde-3 untuk f(x) pada x=1 = T3(x) = 7 – 1(x-1) + 1(x-1)^2 – (x-1)^3/3

2. utk menentukan polinom/deret Taylor orde-4 pada x=1 hitung  turunan dari fungsi f(x):

f(x) = (2x^4 + 3x)^3 - 10x^2(2x - 5)

f'(x) = 6(2x^4 + 3x)^2 (8x^3 + 3) - 20x(2x - 5) - 20x^2

f''(x) = 12(2x^4 + 3x)(8x^3 + 3)^2 + 6(2x^4 + 3x)^2 (24x^2) - 20(2x - 5) - 40x

f'''(x) = 72(2x^4 + 3x)(8x^3 + 3)^2 + 36(2x^4 + 3x)^2 (24x) - 80

f''''(x) = 576(2x^4 + 3x)(8x^3 + 3) + 72(2x^4 + 3x)^2

nex gunakan rumus deret taylor untuk menghitung polinom/deret Taylor orde-4 pada x=1:

f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + (f''(1)/2!)(x-1)^2 + (f'''(1)/3!)(x-1)^3 + (f''''(1)/4!)(x-1)^4 + ...

dgn menggunakan nilai turunan diatas maka polinom/deret Taylor orde-4 untuk f(x) pada x=1:

f(1) = (2(1)^4 + 3(1))^3 - 10(1)^2(2(1) - 5) = -10

f'(1) = 6(2(1)^4 + 3(1))^2 (8(1)^3 + 3) - 20(1)(2(1) - 5) - 20(1)^2 = 64

f''(1) = 12(2(1)^4 + 3(1))(8(1)^3 + 3)^2 + 6(2(1)^4 + 3(1))^2 (24(1)^2) - 20(2(1) - 5) - 40(1) = 1856

f'''(1) = 72(2(1)^4 + 3(1))(8(1)^3 + 3)^2 + 36(2(1)^4 + 3(1))^2 (24(1)) - 80 = 8704

f''''(1) = 576(2(1)^4 + 3(1))(8(1)^3 + 3) + 72(2(1)^4 + 3(1))^2 = 32256

maka polinom/deret Taylor orde-4 untuk f(x) pada x=1 adalah:

f(x) = -10 + 64(x-1) + (1856/2!)(x-1)^2 + (8704/3!)(x-1)^3 + (32256/4!)(x-1)^4 + ...f