Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada titik tertentu pada suatu lingkaran, kita perlu menggunakan persamaan umum lingkaran dan turunan implisit. Berikut langkah-langkahnya:

1. Persamaan umum lingkaran adalah x² + y² + Dx + Ey + F = 0, di mana titik pusat lingkaran terletak di (-D/2, -E/2) dan jari-jarinya adalah r = √(D²/4 + E²/4 - F).

2. Turunan implisit dari persamaan lingkaran adalah 2x + 2y * dy/dx + D + E * dy/dx = 0.

3. Untuk menemukan titik singgung, substitusikan x dan y pada persamaan lingkaran dengan koordinat titik yang diberikan, yaitu (9,5).

4. Dari titik tersebut, hitung turunan pertama dengan mengganti dy/dx dengan m, sehingga turunan implisit menjadi 2(9) + 2(5)m + D + E m = 0.

5. Sebagai garis singgung, persamaan garis harus memiliki kemiringan yang sama dengan turunan pertama pada titik yang sama. Oleh karena itu, cari kemiringan m yang memenuhi turunan pertama tersebut.

6. Substitusikan D, E, dan F dengan nilai dari persamaan lingkaran, sehingga dapat dicari jari-jari r.

7. Gunakan persamaan titik-singgung garis y - y₁ = m(x - x₁), di mana (x₁, y₁) adalah titik pada lingkaran dan m adalah kemiringan yang telah dihitung sebelumnya.

Dari langkah-langkah di atas, kita dapat menemukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik (9,5) sebagai berikut:

1. Persamaan umum lingkaran: x² + y² - 6x - 10y - 2 = 0

  D = -(-6) = 6, E = -(-10) = 10, F = -2

  Pusat lingkaran: (-D/2, -E/2) = (3, -5)

  Jari-jari: r = √(D²/4 + E²/4 - F) = √(37/4)

2. Turunan implisit: 2x + 2y * dy/dx + D + E * dy/dx = 0

3. Substitusi koordinat titik: 2(9) + 2(5) * dy/dx + 6 + 10 * dy/dx = 0

  Dy/dx = -16/13

4. Kemiringan: m = -16/13

5. Persamaan garis: y - 5 = (-16/13)(x - 9)

  Simplifikasi menjadi: 16x + 13y - 173 = 0

6. Persamaan singgung pada titik (9,5): (x - 9)² + (y - 5)² = r²

  Substitusi r dan (x,y): (9 - 3)² + (5 + 5)² = 37/4

7. Persamaan garis singgung: