1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

integrate (3x ^ 3 - 2x ^ 2 - 16x

Berikut ini adalah pertanyaan dari Akunipus pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Integrate (3x ^ 3 - 2x ^ 2 - 16x + 20)/((x - 2)(x + 2)) dx​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

\displaystyle \frac{3x^2}{2}-2x-5\ln|x+2|+\ln|x-2|+C

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Because degrees of polynomial numerator greater than denominator, this problem solved by long division. (x - 2)(x + 2) = x² - 4

\begin{array}{ccccc} & 3x & -2\\\cline{2-5} x^2-4/ & 3x^3 & -2x^2 & -16x & +20\\ & 3x^3 & & -12x\\\cline{2-5} & & -2x^2 & -4x & +20\\ & & -2x^2 & & +8\\\cline{3-5} & & & -4x & +12\end{array}

Definition of polynomial

f(x) = (divisor)(quotient) + remainder

In this case f(x) is dividend, so we can write

\displaystyle \rm{\frac{dividend}{divisor}=quotient+\frac{remainder}{divisor}}

therefore

\displaystyle \frac{3x^3-2x^2-16x+20}{x^2-4}=3x-2+\frac{-4x+12}{x^2-4}

Now perform partial fraction decomposition for \displaystyle \frac{-4x+12}{x^2-4}

\begin{aligned}\frac{-4x+12}{(x+2)(x-2)}&\:=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}\\-4x+12\:&=A(x-2)+B(x+2)\\-4x+12\:&=(A+B)x+(-2A+2B)\end{aligned}

Find A and B

-A + B = 6

A + B = -4

_______

-2A = 10 → A = -5

then

A + B = -4

-5 + B = -4 → B = 1

So

\displaystyle \frac{-4x+12}{(x+2)(x-2)}=-\frac{5}{x+2}+\frac{1}{x-2}

and we get

\displaystyle \frac{3x^3-2x^2-16x+20}{x^2-4}=3x-2-\frac{5}{x+2}+\frac{1}{x-2}

Solve this problem

\begin{aligned}\int \frac{3x^3-2x^2-16x+20}{(x-2)(x+2)}&\:=\int \left ( 3x-2-\frac{5}{x+2}+\frac{1}{x-2} \right )dx\\\:&=\frac{3}{2}x^2-2x-5\ln|x+2|+\ln|x-2|+C\end{aligned}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh peesbedrf dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 04 Jul 23
<< Previous Post
Next Post >>