Pertama-tama, kita perlu menentukan pusat dan jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Dalam bentuk umum, persamaan lingkaran adalah:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

dengan pusat lingkaran (-D/2, -E/2) dan jari-jari r yang diberikan oleh rumus:

r = √[(D²/4) + (E²/4) - F]

Dalam kasus ini, kita memiliki persamaan lingkaran:

x² + y² - 6x + 8y - 24 = 0

maka:

D = -6, E = 8, dan F = -24

pusat lingkaran adalah:

(-D/2, -E/2) = (3, -4)

dan jari-jarinya adalah:

r = √[(D²/4) + (E²/4) - F] = √[(36/4) + (64/4) + 24] = √[49] = 7

Kemudian, untuk menemukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran, kita harus mencari titik-titik kontak antara garis dan lingkaran. Dalam kasus ini, karena gradien garis adalah 2√5, maka persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk:

y = (2√5)x + c

untuk suatu konstanta c yang belum diketahui. Kita juga tahu bahwa titik kontak antara garis dan lingkaran harus berada pada jarak 7 dari pusat lingkaran.

Maka kita dapat menyelesaikan sistem persamaan antara garis dan lingkaran sebagai berikut:

x² + y² - 6x + 8y - 24 = 0

y = (2√5)x + c

Dalam persamaan lingkaran, kita dapat mengganti y dengan (2√5)x + c:

x² + (2√5)x + c² + 8(2√5)x + 8c - 24 = 0

Menggabungkan suku-suku x dan konstanta, kita dapatkan:

(x² + 4√5x + 4c² + 8c - 24) + 16x = 0

x² + (4√5 + 16)x + 4c² + 8c - 24 = 0

Untuk menyinggung lingkaran, diskriminan persamaan di atas harus sama dengan nol, yaitu:

(4√5 + 16)² - 4(4)(4c² + 8c - 24) = 0

256 - 64c² - 256c + 768 = 0

c² + 4c - 6 = 0

(c + 2 + √10)(c + 2 - √10) = 0

Dari sini, kita dapatkan dua solusi untuk c:

c = -2 + √10 atau c = -2 - √10

Jadi, persamaan garis yang menyinggung lingkaran adalah:

y = (2√5)x - 2 + √10 atau y = (2√5)x - 2 - √10